Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\\\ 2 x+2 y+2 z=5 \end{array}\right.
(a) Escreva-o na forma matricial aumentada.
(b) Escalone a matriz aumentada.
(c) Mostre por que o sistema não possui solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y+z=2,\\\\ 2x+2y+2z=5.
O conteúdo aqui é representação matricial de sistemas lineares e escalonamento por operações elementares de linha. Vamos:
  1. escrever a matriz aumentada;
  2. escalonar usando operações de linha;
  3. interpretar o escalonamento para ver se há solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] do sistema, colocando as incógnitas x,y,z nas colunas e o lado direito num vetor adicional:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 2 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos a operação de linha para zerar o primeiro elemento da segunda linha:
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

A segunda linha escalonada corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 1,
isto é,
0 = 1,
que é uma contradição. Logo não há nenhum triplo (x,y,z) que satisfaz esse sistema.

Resposta

O sistema não possui solução.

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