Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
F=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
F = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para verificar se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Para isso, vamos precisar das definições dessas duas formas.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada se satisfaz três condições:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula fica estritamente à direita do pivot da linha acima.
  3. Todos os elementos abaixo de cada pivot são zeros.

Passo 3

Na matriz F temos:
– A segunda linha não é nula e a terceira é nula, logo a condição 1 está ok.
– O pivot da primeira linha está na coluna 1 e o da segunda linha está na coluna 3, que é à direita de 1, satisfazendo a condição 2.
– Abaixo de cada pivot (1 em \,(1,1) e 1 em \,(2,3)) só há zeros, atendendo à condição 3.
Portanto, F está em forma escalonada.

Passo 4

Uma matriz em forma escalonada reduzida deve, além de ser forma escalonada, satisfazer:
  1. Cada pivot vale 1.
  2. Cada coluna que contém um pivot tem zeros em todas as outras posições (acima e abaixo do pivot).

Passo 5

Em F os pivots já valem 1, mas a coluna do segundo pivot (coluna 3) tem o valor 3 na posição (1,3), ou seja, acima do pivot não há zero. Logo, F não está em forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz F está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.

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