Encontre o produto escalar e o ângulo entre os seguintes vetores:
V=(-3,2,4) e W=(1,0,-3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores
V = (-3,2,4), \quad W = (1,0,-3)
e pede (a) o produto escalar \langle V,W\rangle e (b) o ângulo \theta entre eles. Vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3 e a relação
\langle V,W\rangle = \|V\|\,\|W\|\cos\theta.

Passo 2

Calcular \langle V,W\rangle pela fórmula
\langle V,W\rangle = V_xW_x + V_yW_y + V_zW_z.
Substituindo, vem
\langle V,W\rangle = (-3)\cdot 1 \;+\; 2\cdot 0 \;+\; 4\cdot(-3) = -3 + 0 -12 = -15.

Passo 3

Agora os módulos \|V\| e \|W\|:
\|V\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 +16} = \sqrt{29},
\|W\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 0 +9} = \sqrt{10}.

Passo 4

Usando
\cos\theta = \frac{\langle V,W\rangle}{\|V\|\,\|W\|} = \frac{-15}{\sqrt{29}\,\sqrt{10}} = \frac{-15}{\sqrt{290}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{-15}{\sqrt{290}}\Bigr) \approx 151{,}8^\circ.

Resposta

\langle V,W\rangle = -15 \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-15/(\sqrt{29}\,\sqrt{10})\bigr)\approx 152^\circ

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