Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
H=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\ 0 & 0 & 1 \\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e pede para decidir se H está em forma escalonada (row echelon), forma escalonada reduzida (reduced row echelon) ou nenhuma das duas. Vamos revisar as definições e aplicar aos pivôs de cada linha.

Passo 2

Forma escalonada (row echelon) exige:
  1. Todas as linhas nulas, se houver, vêm abaixo das não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo (“pivô”) de cada linha está estritamente à direita do pivô da linha acima.

Passo 3

Identificamos os pivôs de cada linha de H:
  • Linha 1: pivô em coluna 1 (é o “1” em posição (1,1)).
  • Linha 2: pivô em coluna 3 (é o “1” em posição (2,3)).
  • Linha 3: pivô em coluna 2 (é o “1” em posição (3,2)).
Entre linha 1 e linha 2, o pivô foi de col 1 para col 3 (moveu-se à direita) — tudo bem.
Mas entre linha 2 (pivô em col 3) e linha 3 (pivô em col 2), o pivô da linha 3 ficou à esquerda do pivô da linha 2, violando a condição de “movimento à direita” obrigatório em uma forma escalonada.

Passo 4

Como H não satisfaz a definição de forma escalonada, ela também não pode estar em forma escalonada reduzida (que exige, além de ser escalonada, que cada pivô seja 1 e o único elemento não nulo em sua coluna).

Resposta

A matriz H não está em forma escalonada nem em forma escalonada reduzida (nenhuma das duas).

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