Determine \vec{u} ortogonal a \vec{v}=(1,-2,2) tal que \vec{u} \cdot(0,4,-3)=7 e \vec{u} \cdot(1,0,2)=8

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{u}\in\mathbb{R}^3 que seja ortogonal a \vec{v}=(1,-2,2) e satisfaça \vec{u}\cdot(0,4,-3)=7 e \vec{u}\cdot(1,0,2)=8.
O conteúdo envolvido é produto escalar e solução de um sistema linear em três incógnitas.

Passo 2

Seja
\vec{u}=(x,y,z).
A ortogonalidade a \vec{v} gera
x - 2y + 2z = 0,
o primeiro produto escalar gera
4y - 3z = 7,
e o segundo gera
x + 2z = 8.
Assim, o sistema é
\begin{cases} x - 2y + 2z = 0,\\\\ 4y - 3z = 7,\\\ x + 2z = 8. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação isolamos x:
x = 2y - 2z.
Substituindo em x + 2z = 8 obtemos
2y - 2z + 2z = 8 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 4.
Com y=4 na equação 4y - 3z = 7 vem
4\cdot 4 - 3z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 16 - 3z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 3z = 9 \quad\Longrightarrow\quad z = 3.

Passo 4

Finalmente, substituindo y=4 e z=3 em x = 2y - 2z, achamos
x = 2\cdot 4 - 2\cdot 3 = 8 - 6 = 2.
Logo \vec{u}=(2,4,3).

Resposta

\vec{u}=(2,4,3)

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