Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os pivôs e determine o posto.
G=[rrrr3 & 5 & 3 & 4 1 & 2 & 1 & 4 -1 & a & 0 & 4].

Passo 1

O enunciado pede para transformar a matriz
G = 3 & 5 & 3 & 4 1 & 2 & 1 & 4 -1 & a & 0 & 4
em forma escalonada, localizar os pivôs (elementos principais em cada linha não nula) e determinar o posto. O conteúdo utilizado será eliminação de Gauss (operações elementares de linha) e definição de posto como número de pivôs não nulos.

Passo 2

Trocamos R1 com R2 para ter pivô igual a 1 na primeira coluna, e em seguida eliminamos as entradas abaixo desse pivô:
Linha originais após troca:
R1 = (1;2;1;4), R2 = (3;5;3;4), R3 = (-1;a;0;4)
Agora fazemos
R2 R2 - 3,R1, R3 R3 + R1
para zerar as entradas embaixo do pivô da coluna 1. Isso dá
R2 = (0;-1;0;-8), R3 = (0;a+2;1;8)

Passo 3

O pivô de R2 está em coluna 2 e vale -1. Usamos esse pivô para zerar a entrada de R3 na coluna 2:
R3 R3 + (a+2),R2
Como (a+2)cdot(0,-1,0,-8)=(0,-(a+2),0,-8(a+2)), ao somar em R3=(0,a+2,1,8) obtemos
R3 = (0,0,1,,8 - 8(a+2)) = (0,0,1,,-8a - 8)

Passo 4

A matriz já está em forma escalonada por linhas:
1 & 2 & 1 & 4 0 & -1 & 0 & -8 0 & 0 & 1 & -8a - 8
Os pivôs são:
;1 em posição (1,1),
-1 em posição (2,2),
;1 em posição (3,3).

Passo 5

Há três pivôs não nulos, logo o posto de G é
rank(G)=3,
independentemente do valor do parâmetro a.

Resposta

A forma escalonada por linhas de G é
1 & 2 & 1 & 4 0 & -1 & 0 & -8 0 & 0 & 1 & -8a - 8
Os pivôs encontram-se em (1,1), (2,2) e (3,3) com valores 1, -1 e 1. Portanto, rank(G)=3.

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