Determine o valor de para que a matriz tenha posto igual a 1 .
Passo 1
O enunciado pede para achar o valor de x de modo que a matriz
A = 1 & 2 & -1 -2 & -4 & 2 x & 6 & -3
tenha posto igual a 1.
Conteúdo: posto de matriz e dependência linear de linhas.
Passo 2
Note que a segunda linha é múltiplo escalar da primeira, pois (-2,,-4,,2) = -2cdot(1,,2,,-1).
Logo, já temos que as linhas 1 e 2 são dependentes, e a dimensão do espaço gerado por elas é 1.
Passo 3
Para que o posto de A seja 1, a terceira linha também precisa ser múltiplo da primeira. Escrevemos
(x,,6,,-3) = k,(1,,2,,-1)
e igualamos componente a componente: 2k = 6 Rightarrow k = 3.
Então da primeira componente vem x = k = 3,
e da terceira -k = -3, que coincide com a entrada da matriz.
Passo 4
Com x=3, todas as linhas ficam colineares com (1,2,-1), o que garante que o espaço gerado pelas linhas tem dimensão 1. Como essa linha não é a nula, o posto é exatamente 1.