Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz
tal que
.
Passo 1
Temos a matriz
abaixo e queremos encontrar uma matriz
tal que
. O conteúdo é raiz de matriz via diagonalização, usando autovalores e autovetores.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de
. Primeiro montamos
:
Fazendo o determinante, obtemos
, logo os autovalores são
e
.
Passo 3
Para cada autovalor, encontramos um autovetor não-nulo:
Para , resolvemos
Para
e vemos que
implica
. Um autovetor é
.
Para , resolvemos
Para
e obtemos
, com autovetor
.
Passo 4
Montamos a matriz de passagem
cujas colunas são os autovetores e calculamos
:
Verificamos que
.
Passo 5
Como
está diagonalizada, uma raiz quadrada é
Isso nos dá duas opções para
: sinal
e sinal
no segundo autovalor.
Passo 6
A opção com sinal
é
e de fato
, logo
funciona. A opção com sinal
é
Passo 7
Para calcular
explicitamente, fazemos as multiplicações:
E checamos que
.
Resposta
Duas possibilidades de raiz quadrada de
são
pois ambos satisfazem
.