Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz B tal que B^2=A.
rr2 & 1 -2 & -1

Passo 1

Temos a matriz A abaixo e queremos encontrar uma matriz B tal que B^2 = A. O conteúdo é raiz de matriz via diagonalização, usando autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Primeiro montamos det(A - lambda I):
detl(2 & 1 -2 & -1 - lambda 1 & 0 0 & 1r) = det2-lambda & 1 -2 & -1-lambda
Fazendo o determinante, obtemos lambda(lambda-1)=0, logo os autovalores são lambda1=0 e lambda2=1.

Passo 3

Para cada autovalor, encontramos um autovetor não-nulo:
Para lambda1=0, resolvemos
2 & 1 -2 & -1x y=0
e vemos que 2x+y=0 implica y=-2x. Um autovetor é (1,-2)^T.
Para lambda2=1, resolvemos
2-1 & 1 -2 & -1-1x y=0
e obtemos x+y=0, com autovetor (1,-1)^T.

Passo 4

Montamos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores e calculamos P^-1:
P=1 & 1 -2 & -1, P^-1=-1 & -1 2 & 1
Verificamos que A = Pdiag(0,1)P^-1.

Passo 5

Como A está diagonalizada, uma raiz quadrada é
B = Pdiag(raiz0,pmraiz1)P^-1 = Pdiag(0,pm1)P^-1
Isso nos dá duas opções para B: sinal + e sinal - no segundo autovalor.

Passo 6

A opção com sinal + é
B1 = Pdiag(0,1)P^-1 = A,
e de fato A^2 = A, logo B1=A funciona. A opção com sinal - é
B2 = Pdiag(0,-1)P^-1

Passo 7

Para calcular B2 explicitamente, fazemos as multiplicações:
Pdiag(0,-1) = 0 & -1 0 & 1,
B2 = 0 & -1 0 & 1P^-1 = -2 & -1 2 & 1
E checamos que B2^2 = A.

Resposta

Duas possibilidades de raiz quadrada de A são
B1 = 2 & 1 -2 & -1 e B2 = -2 & -1 2 & 1,
pois ambos satisfazem B^2 = A.

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