Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam V um espaço vetorial e U, W subset V subespaços vetoriais de V. Então, U cap W também é subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado diz: sejam V um espaço vetorial e U,Wsubset V subespaços de V. Queremos verificar se Ucap W também é um subespaço vetorial de V. O conteúdo é teoria de subespaços e vamos usar a definição: um subconjunto S de V é subespaço se contiver o vetor nulo e for fechado sob combinações lineares.

Passo 2

Como U e W são subespaços de V, sabemos que o vetor nulo de V pertence a U e a W. Logo, o vetor nulo pertence a Ucap W, garantindo que Ucap W não é vazio.

Passo 3

Para verificar o fechamento sob combinações lineares, tomamos quaisquer vetores u e v em Ucap W e quaisquer escalares alpha e beta. Como u e v pertencem a U e U é subespaço, temos
alpha u + beta v in U
De modo análogo, como u e v pertencem a W e W é subespaço, temos
alpha u + beta v in W
Portanto,
alpha u + beta v in Ucap W
mostrando o fechamento.

Resposta

Verdadeira, pois a interseção de subespaços de um espaço vetorial é também subespaço: contém o vetor nulo e é fechada sob combinações lineares.

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