Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam
um espaço vetorial e
subespaços vetoriais de
. Então,
também é subespaço vetorial.
Sejam
Passo 1
O enunciado diz: sejam
um espaço vetorial e
subespaços de
. Queremos verificar se
também é um subespaço vetorial de
. O conteúdo é teoria de subespaços e vamos usar a definição: um subconjunto
de
é subespaço se contiver o vetor nulo e for fechado sob combinações lineares.
Passo 2
Como
e
são subespaços de
, sabemos que o vetor nulo de
pertence a
e a
. Logo, o vetor nulo pertence a
, garantindo que
não é vazio.
Passo 3
Para verificar o fechamento sob combinações lineares, tomamos quaisquer vetores
e
em
e quaisquer escalares
e
. Como
e
pertencem a
e
é subespaço, temos
De modo análogo, como
e
pertencem a
e
é subespaço, temos
Portanto,
mostrando o fechamento.
Resposta
Verdadeira, pois a interseção de subespaços de um espaço vetorial é também subespaço: contém o vetor nulo e é fechada sob combinações lineares.