Usando o método de diagonalização de formas quadráticas, determine a forma canônica da seguite seção cônica, identificando seu tipo
Passo 1
Estamos buscando a forma canônica da seção cônica dada por
Esse problema envolve o conteúdo de classificação de cônicas via diagonalização de formas quadráticas: vamos representar o termo quadrático por uma matriz simétrica, encontrar seus autovalores e autovetores, e então fazer uma mudança de variáveis que elimine o termo misto.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a parte quadrática como forma matricial. Seja
. Então
Aqui a matriz associada é
Passo 3
Calculamos os autovalores de
resolvendo
Isso dá
cuja solução é
isto é,
e
.
Passo 4
Para cada autovalor achamos um autovetor:
- Para
, resolvemos : \n leva a ou . Escolhemos o vetor . - Para
, resolvemos : \n leva a ou . Escolhemos .
Passo 5
Agora ortonormalizamos esses vetores para definir a rotação. O vetor
tem norma
, e
também tem norma
. Assim o autovetor normalizado de
é
e o de
é
. Definimos a mudança de variáveis
Nessas coordenadas, a forma quadrática diagonaliza para
Passo 6
Substituindo na equação original
, obtemos
Para escrever na forma padrão, isolamos 1:
e dividimos ambos os lados por 24:
Essa é a forma canônica de uma hipérbole.
Passo 7
Observamos que a equação
representa uma hipérbole (diferença de quadrados igual a constante positiva).
Resposta
A forma canônica é
Trata-se de uma hipérbole.