Usando o método de diagonalização de formas quadráticas, determine a forma canônica da seguite seção cônica, identificando seu tipo
-3 x^2+6 x y+5 y^2-24=0

Passo 1

Estamos buscando a forma canônica da seção cônica dada por
-3x^2 + 6xy + 5y^2 - 24 = 0
Esse problema envolve o conteúdo de classificação de cônicas via diagonalização de formas quadráticas: vamos representar o termo quadrático por uma matriz simétrica, encontrar seus autovalores e autovetores, e então fazer uma mudança de variáveis que elimine o termo misto.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a parte quadrática como forma matricial. Seja Q(x,y)= -3x^2 + 6xy + 5y^2. Então
Q(x,y) = x & y -3 & 3 3 & 5 x y
Aqui a matriz associada é
M = -3 & 3 3 & 5

Passo 3

Calculamos os autovalores de M resolvendo
det(M - lambda I) = (-3-lambda)(5-lambda) - 3cdot 3 = 0
Isso dá
( -3-lambda)(5-lambda) -9 = lambda^2 -2lambda -24 = 0,
cuja solução é
lambda1,2 = 2 pm raiz4 + 962 = 2 pm 102,
isto é, lambda1 = 6 e lambda2 = -4.

Passo 4

Para cada autovalor achamos um autovetor:
  • Para lambda1 = 6, resolvemos (M -6I)v=0: -9 & 3 3 & -1 u v = 0 \n leva a -9u + 3v = 0 ou v=3u. Escolhemos o vetor (1,3).
  • Para lambda2 = -4, resolvemos (M +4I)v=0: 1 & 3 3 & 9 u v = 0 \n leva a u + 3v = 0 ou u=-3v. Escolhemos (-3,1).

Passo 5

Agora ortonormalizamos esses vetores para definir a rotação. O vetor (1,3) tem norma raiz1^2+3^2=raiz10, e (-3,1) também tem norma raiz10. Assim o autovetor normalizado de lambda1 é p1=(1/raiz10,3/raiz10) e o de lambda2 é p2=(-3/raiz10,1/raiz10). Definimos a mudança de variáveis
x y = p1 & p2 u v
Nessas coordenadas, a forma quadrática diagonaliza para
Q = 6u^2 + (-4)v^2

Passo 6

Substituindo na equação original -3x^2+6xy+5y^2-24=0, obtemos
6u^2 - 4v^2 - 24 = 0
Para escrever na forma padrão, isolamos 1:
6u^2 - 4v^2 = 24
e dividimos ambos os lados por 24:
u^24 - v^26 = 1
Essa é a forma canônica de uma hipérbole.

Passo 7

Observamos que a equação u^24 - v^26 = 1 representa uma hipérbole (diferença de quadrados igual a constante positiva).

Resposta

A forma canônica é
u^24 - v^26 = 1
Trata-se de uma hipérbole.

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