Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma matriz B tal que B^2=A.
rrr9 & -5 & 3 0 & 4 & 3 0 & 0 & 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz B tal que B^2=A, onde A é uma matriz triangular superior. O conteúdo é raiz quadrada de matrizes triangulares: vamos supor que B também seja triangular e usar as fórmulas de multiplicação para determinar seus coeficientes.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de B e calcular B^2. Seja
B=b11&b12&b130&b22&b230&0&b33,
então
B^2=b11^2&b12(b11+b22)&b11b13+b12b23+b13b330&b22^2&b23(b22+b33)0&0&b33^2

Passo 3

Agora igualamos B^2 a A=9&-5&30&4&30&0&1 e obtemos as equações:
  • b11^2=9,;b22^2=4,;b33^2=1
  • b12(b11+b22)=-5,;b23(b22+b33)=3
  • b11b13+b12b23+b13b33=3

Passo 4

Daí vem
b11=pm3, b22=pm2, b33=pm1,
b12=-5b11+b22, b23=3b22+b33, b13=3 - b12b23b11+b33

Passo 5

Escolhendo as raízes principais positivas ( b11=3,,b22=2,,b33=1) e calculando:
b12=-53+2=-1, b23=32+1=1, b13=3 - (-1)cdot13+1=1

Passo 6

Assim obtemos uma solução concreta para B.

Resposta

B=3&-1&10&2&10&0&1

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