(2.0 Pontos) Fatore a matriz
como
, onde
é uma matriz ortogonal e
é uma matrix diagonal. Justifique a sua resposta.
Passo 1
A gente tem a matriz simétrica
e quer escrever na forma
, isto é, fazer a diagonalização ortogonal. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para matrizes simétricas.
Passo 2
Primeiro, montamos o polinômio característico de
. Para isso, calculamos
:
Passo 3
Agora resolvemos
. As raízes dessa equação são
ou seja,
e
.
Esse são os autovalores de .
Esse são os autovalores de
Passo 4
Em seguida, para cada autovalor, achamos o autovetor correspondente e o normalizamos.
Para :
Para
um autovetor é
. Normalizando:
Para
:
um autovetor é
. Normalizando:
Passo 5
Finalmente, montamos a matriz ortogonal
cujas colunas são
e
, e a diagonal
com os autovalores na ordem correspondente:
Como
é simétrica, sabemos que os autovetores formam uma base ortonormal, logo
e
Passo 6
Pronto! Acabamos de diagonalizar
por uma transformação ortogonal.
Resposta
X = \frac1{\sqrt2}
, \quad \Lambda =