(2.0 Pontos) Fatore a matriz
A=[rr 3 & -1 -1 & 3 ]
como A=X Lambda X^T, onde X é uma matriz ortogonal e Lambda é uma matrix diagonal. Justifique a sua resposta.

Passo 1

A gente tem a matriz simétrica
A=3 & -1-1 & 3
e quer escrever na forma A = XLambda X^T, isto é, fazer a diagonalização ortogonal. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores para matrizes simétricas.

Passo 2

Primeiro, montamos o polinômio característico de A. Para isso, calculamos det(A - lambda I):
A - lambda I = 3-lambda & -1-1 & 3-lambda,
det(A - lambda I) = (3-lambda)^2 - (-1)cdot(-1) = (3-lambda)^2 - 1 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 3

Agora resolvemos lambda^2 - 6lambda + 8 = 0. As raízes dessa equação são
lambda = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22,
ou seja, lambda1 = 4 e lambda2 = 2.
Esse são os autovalores de A.

Passo 4

Em seguida, para cada autovalor, achamos o autovetor correspondente e o normalizamos.
Para lambda1=4:
(A - 4I) = -1 & -1-1 & -1,
um autovetor é (1,1)^T. Normalizando:
v1 = 1raiz211
Para lambda2=2:
(A - 2I) = 1 & -1-1 & 1,
um autovetor é (1,-1)^T. Normalizando:
v2 = 1raiz21-1

Passo 5

Finalmente, montamos a matriz ortogonal X cujas colunas são v1 e v2, e a diagonal Lambda com os autovalores na ordem correspondente:
X = v1 & v2 = 1raiz21 & 11 & -1,
Lambda = 4 & 00 & 2
Como A é simétrica, sabemos que os autovetores formam uma base ortonormal, logo X^T X = I e
A = XLambda X^T

Passo 6

Pronto! Acabamos de diagonalizar A por uma transformação ortogonal.

Resposta

X = \frac1{\sqrt2} 1 & 11 & -1, \quad \Lambda = 4 & 00 & 2

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