Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam V um espaço vetorial e U, W subset V subespaços vetoriais de V. Então, U cup W também é subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dados subespaços vetoriais U e W de V, a união Ucup W é sempre subespaço. Vamos usar a definição de subespaço: precisa conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Para dar contra-exemplo, escolhemos V=R^2, U=(x,0):xinR (eixo-x) e W=(0,y):yinR (eixo-y). Ambos são subespaços de R^2.
Note que (1,0)in Usubset Ucup W e (0,1)in Wsubset Ucup W. Mas a soma
(1,0)+(0,1)=(1,1)
não pertence nem a U nem a W, logo não está em Ucup W. Assim, Ucup W não é fechado sob soma.

Passo 3

Concluímos que, em geral, Ucup W NÃO é subespaço. A única exceção é quando Usubset W ou Wsubset U, aí sim a união coincide com o maior deles e é subespaço.

Resposta

Falsa.

Exercícios relacionados