Para cada uma das matrizes abaixo, expressar
como um polinômio em
.
,
Passo 1
O enunciado pede para computar
exp(tA) como um polinômio em
A , onde
O conteúdo aqui é a exponencial de matriz via série de potências e o uso da decomposição
,A=I+N com
N nilpotente.
Passo 2
Definimos
Note que
ou seja,
N é nilpotente de ordem
2 .
Passo 3
Usamos a propriedade
pois
I comuta com
N .
Passo 4
Como
N^2=0 , a série de potências de
exp(tN) para de segundo grau:
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Passo 5
Voltando para
A , temos
N = A - I , então
que é um polinômio de grau 1 em
A .