Para cada uma das matrizes abaixo, expressar e^t A como um polinômio em A.
A=[lll1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1],

Passo 1

O enunciado pede para computar exp(tA) como um polinômio em A, onde
A = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1
O conteúdo aqui é a exponencial de matriz via série de potências e o uso da decomposição
,A=I+N com N nilpotente.

Passo 2

Definimos
N = A - I = 0 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0
Note que
N^2 = 0 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 =0,
ou seja, N é nilpotente de ordem 2.

Passo 3

Usamos a propriedade
exp(tA) = expl(t(I+N)r) = exp(tI),exp(tN) = e^t,exp(tN),
pois I comuta com N.

Passo 4

Como N^2=0, a série de potências de exp(tN) para de segundo grau:
exp(tN) = I + tN + (tN)^22! + cdots = I + tN
Logo
exp(tA) = e^t,(I + tN)

Passo 5

Voltando para A, temos N = A - I, então
exp(tA) = e^tl[I + t,(A-I)r] = e^tl((1-t)I + tAr),
que é um polinômio de grau 1 em A.

Resposta

boxed exp(tA) ;=; e^t,(1-t),I ;+; e^t,t,A

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