Sejam
transformações lineares cujas matrizes canônicas são dadas por:
(a)
(b)
©
Decida em cada item se
é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontre sua inversa
.
(a)
(b)
©
Decida em cada item se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares
e nos dá três matrizes diferentes. Nosso objetivo é descobrir se cada transformação
é um isomorfismo. Se for, também vamos encontrar a inversa
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes de matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é um isomorfismo se e somente se a sua matriz associada for invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, para cada matriz dada, vamos calcular o determinante.
Passo 3
Item (a): A matriz é
O determinante de uma matriz
é calculado por
. Aqui,
,
,
, e
. Então,
Como o determinante não é zero (
),
é um isomorfismo.
Passo 4
Para encontrar a inversa de
quando a matriz é
, usamos a fórmula:
Aplicando isso para a matriz do item (a):
Passo 5
Item (b): A matriz é
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero,
não é um isomorfismo. Portanto, não existe uma inversa
para essa matriz.
Passo 6
Item ©: A matriz é
Calculando o determinante:
Como o determinante não é zero (
),
é um isomorfismo.
Passo 7
Encontrando a inversa de
para o item © usando a mesma fórmula:
Resposta
(a)
é um isomorfismo e sua inversa é
.
(b)
não é um isomorfismo.
©
é um isomorfismo e sua inversa é
.