Sejam T: R^2 R^2 transformações lineares cujas matrizes canônicas são dadas por:
(a) [T]=[ll1 & 2 0 & 1]
(b) [T]=[cc1 & -2 0 & 0]
© [T]=[cc1 & 0 0 & -1]
Decida em cada item se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontre sua inversa T^-1: R^2 R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre transformações lineares e nos dá três matrizes diferentes. Nosso objetivo é descobrir se cada transformação é um isomorfismo. Se for, também vamos encontrar a inversa . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre determinantes de matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é um isomorfismo se e somente se a sua matriz associada for invertível. Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, para cada matriz dada, vamos calcular o determinante.

Passo 3

Item (a): A matriz é
[T] = 1 & 2 0 & 1
O determinante de uma matriz det(T) = (1)(1) - (2)(0) = 1 - 0 = 1 é calculado por . Aqui, , , , e . Então,
Como o determinante não é zero ( ), é um isomorfismo.

Passo 4

Para encontrar a inversa de a & b c & d quando a matriz é [T]^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , usamos a fórmula:
[T]^-1 = 11 1 & -2 0 & 1 = 1 & -2 0 & 1
Aplicando isso para a matriz do item (a):

Passo 5

Item (b): A matriz é
[T] = 1 & -2 0 & 0
Calculando o determinante:
det(T) = (1)(0) - (-2)(0) = 0 - 0 = 0
Como o determinante é zero, não é um isomorfismo. Portanto, não existe uma inversa para essa matriz.

Passo 6

Item ©: A matriz é
[T] = 1 & 0 0 & -1
Calculando o determinante:
det(T) = (1)(-1) - (0)(0) = -1 - 0 = -1
Como o determinante não é zero ( ), é um isomorfismo.

Passo 7

Encontrando a inversa de [T]^-1 = 1-1 -1 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & -1 para o item © usando a mesma fórmula:

Resposta

(a) 1 & -2 0 & 1 é um isomorfismo e sua inversa é 1 & 0 0 & -1 .
(b) não é um isomorfismo.
© é um isomorfismo e sua inversa é .

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