Para cada uma das matrizes A dadas abaixo, encontre uma matriz ortogonal P para a qual P^t A P seja diagonal.
cc1 & 2 2 & -2

Passo 1

O exercício pede para encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^T A P seja diagonal, onde A é uma matriz simétrica. O conteúdo principal é a diagonalização ortogonal de matrizes simétricas, que se baseia em obter autovalores e autovetores ortonormais de A.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A, dado por det(A−λI)=0. Temos a matriz
A - lambda I = 1-lambda & 22 & -2-lambda,
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det(A-lambda I)=(1-lambda)(-2-lambda)-2cdot2=lambda^2+lambda-6

Passo 3

Igualando a zero obtemos
lambda^2+lambda-6=0,
cuja solução são
lambda1=2, lambda2=-3

Resposta

P=tfrac2raiz5&-tfrac1raiz5[6pt]tfrac1raiz5&tfrac2raiz5, P^TAP=diag(2,-3)

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