Complete cada um dos subconjuntos E linearmente independentes abaixo de forma a obter uma base de E=R^3, n=1, u1=(2015,2016,2017) :

Passo 1

Temos o espaço vetorial E=R^3 e um conjunto inicial X=u1 com u1=(2015,2016,2017). O objetivo é completar X com mais dois vetores para obter uma base de R^3, ou seja, um conjunto de três vetores linearmente independentes que geram todo R^3.

Passo 2

Para completar a base, basta escolher dois vetores que não sejam múltiplos de u1. Uma escolha simples é e1=(1,0,0) e e2=(0,1,0). Vamos verificar a independência linear dos três vetores definindo
a,u1 + b,e1 + c,e2 = (0,0,0)
Isso gera o sistema
$$a\cdot2015 + b = 0,\
a\cdot2016 + c = 0,\
a\cdot2017 = 0.$$

Passo 3

Da última equação vem a=0. Substituindo em cima, temos b=0 e c=0. Logo, os três vetores são linearmente independentes e formam uma base de R^3.

Resposta

Uma base completando X é (2015,2016,2017),,(1,0,0),,(0,1,0).

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