Para cada uma das matrizes dadas, encontre todos os autovalores e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes. A=\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 3 \\\\ 3 & -5 & 3 \\\\ 6 & -6 & 4\end{array}\right]
Quais matrizes podem ser diagonalizadas, e por quê?
encontrar todos os autovalores \lambda e um conjunto S maximal de autovetores linearmente independentes. Em seguida, determinar se A é diagonalizável. Para isso vamos usar definição de autovalor como raiz de \det(A-\lambda I)=0 e resolver sistemas (A-\lambda I)x=0 para obter autovetores, comparando multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
formam base do eigensspace de \lambda=-2 (dimensão geométrica 2, igual à mult. alg. 2).
Passo 6
Como a soma das dimensões dos eigensspaces é 1+2=3, igual à ordem da matriz, há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Portanto A é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autovetores independentes de A: \lambda_1=4 com autovetor v_1=(1,1,2)^T. \lambda_2=-2 com autovetores v_2=(1,1,0)^T e v_3=(-1,0,1)^T.
A matriz A é diagonalizável porque possui 3 autovetores linearmente independentes.