Para cada uma das matrizes dadas, encontre todos os autovalores e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 3 \\\\ 3 & -5 & 3 \\\\ 6 & -6 & 4\end{array}\right]
Quais matrizes podem ser diagonalizadas, e por quê?

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3\\\\ 3 & -5 & 3\\\\ 6 & -6 & 4 \end{pmatrix}
encontrar todos os autovalores \lambda e um conjunto S maximal de autovetores linearmente independentes. Em seguida, determinar se A é diagonalizável. Para isso vamos usar definição de autovalor como raiz de \det(A-\lambda I)=0 e resolver sistemas (A-\lambda I)x=0 para obter autovetores, comparando multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
A-\lambda I =\begin{pmatrix} 1-\lambda & -3 & 3\\\\ 3 & -5-\lambda & 3\\\\ 6 & -6 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores, chega-se a
\chi_A(\lambda) =\det(A-\lambda I) =\lambda^3-12\lambda-16.

Passo 3

Fatoramos \chi_A(\lambda)=\lambda^3-12\lambda-16. Testando \lambda=4 obtemos
4^3-12\cdot4-16=64-48-16=0,
logo \lambda=4 é raiz. Dividindo por (\lambda-4) resulta
\chi_A(\lambda)=(\lambda-4)(\lambda^2+4\lambda+4) =(\lambda-4)(\lambda+2)^2.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=4\quad(\text{mult. alg. 1}),\qquad \lambda_2=-2\quad(\text{mult. alg. 2}).

Passo 4

Eigens­s­pace para \lambda=4\): resolvemos \((A-4I)x=0\). \[A-4I =\begin{pmatrix} -3 & -3 & 3\\\\ 3 & -9 & 3\\\\ 6 & -6 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+y-z=0,\\\ x-3y+z=0,\\\ x-y=0. \end{cases}
Da equação x-y=0\] segue \(x=y. Substituindo nas outras dá z=2x. Logo um autovetor não nulo é
v_1=(1,1,2)^T.

Passo 5

Eigens­s­pace para \lambda=-2: resolvemos (A+2I)x=0.
A+2I =\begin{pmatrix} 3 & -3 & 3\\\\ 3 & -3 & 3\\\\ 6 & -6 & 6 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 3x-3y+3z=0 \;\Longrightarrow\;x-y+z=0.
Fazendo y=s, z=t livres, obtém-se x=s-t. Assim
v_2=(1,1,0)^T,\qquad v_3=(-1,0,1)^T
formam base do eigens­s­pace de \lambda=-2 (dimensão geométrica 2, igual à mult. alg. 2).

Passo 6

Como a soma das dimensões dos eigens­spaces é 1+2=3, igual à ordem da matriz, há uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autovetores independentes de A:
\lambda_1=4 com autovetor v_1=(1,1,2)^T.
\lambda_2=-2 com autovetores v_2=(1,1,0)^T e v_3=(-1,0,1)^T.
A matriz A é diagonalizável porque possui 3 autovetores linearmente independentes.

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