Cada uma das matrizes seguintes determina uma transformação linear de R^4 em R^3.
A=(cccc 1 & 2 & 0 & 1 2 & -1 & 2 & -1 1 & -3 & 2 & -2 ), B=(cccc 1 & 0 & 2 & -1 2 & 3 & -1 & 1 -2 & 0 & -5 & 3 )
Encontre uma base, bem como a dimensão, do núcleo e da imagem da cada transformação linear.

Passo 1

O exercício fornece duas matrizes A e B que definem transformações lineares de R^4 em R^3. Precisamos encontrar, para cada uma,
– uma base e a dimensão do núcleo (soluções de X=0),
– uma base e a dimensão da imagem (espaço gerado pelas colunas).
Para isso usaremos eliminação de Gauss para determinar o posto (rank), identificar pivôs e variáveis livres, e aplicar
dimker = n - rank, dimIm = rank

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss em A:
A= 1 & 2 & 0 & 1 2 & -1 & 2 & -1 1 & -3 & 2 & -2 ;xrightarrowR2>=ts R2-2R1,;R3>=ts R3-R1; 1 & 2 & 0 & 1 0 & -5 & 2 & -3 0 & -5 & 2 & -3 ;xrightarrowR3>=ts R3-R2; 1 & 2 & 0 & 1 0 & -5 & 2 & -3 0 & 0 & 0 & 0
Em seguida dividimos R2 por -5 e eliminamos acima, obtendo a forma reduzida
RREF(A)= 1 & 0 & tfrac45 & -tfrac15 0 & 1 & -tfrac25 & tfrac35 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma rank(A)=2.

Passo 3

Para
logo
Multiplicando por 5 para ficar mais “inteiro”, uma base é
e (\dim(\ker(A))=2] pois há duas variáveis livres.

Passo 4

Para Im(A) usamos as colunas de A correspondentes aos pivôs (colunas 1 e 2). Assim
Im(A)=span(1,2,1),;(2,-1,-3),
e dim(Im(A))=2.

Passo 5

Agora B:
B= 1 & 0 & 2 & -1 2 & 3 & -1 & 1 -2 & 0 & -5 & 3 ;xrightarrowR2>=ts R2-2R1,;R3>=ts R3+2R1; 1 & 0 & 2 & -1 0 & 3 & -5 & 3 0 & 0 & -1 & 1
Dividindo cada linha pelo pivô e eliminando acima, chega-se à forma reduzida
RREF(B)= 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -tfrac23 0 & 0 & 1 & -1
Logo rank(B)=3.

Passo 6

Da RREF de B a única variável livre é x4=t. As equações homogêneas dão
x1 + x4 = 0, x2 - tfrac23x4=0, x3 - x4=0,
ou seja
x = t(-1,tfrac23,1,1)
Multiplicando por 3, uma base inteira é
ker(B)=span(-3,2,3,3),
e dim(ker(B))=1.

Passo 7

Para Im(B) usamos as colunas 1, 2 e 3 de B (pivôs):
Im(B)=span(1,2,-2),;(0,3,0),;(2,-1,-5),
e dim(Im(B))=3.

Resposta

Para A:
ker(A)=span(-4,2,5,0),;(1,-3,0,5), dim(ker(A))=2,
Im(A)=span(1,2,1),;(2,-1,-3), dim(Im(A))=2
Para B:
ker(B)=span(-3,2,3,3), dim(ker(B))=1,
Im(B)=span(1,2,-2),;(0,3,0),;(2,-1,-5), dim(Im(B))=3

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