SEJA V=R^3 MUNIDO DO PRODUTO INTERNO USUAL. DADOS OS SUBESPAÇOS:
S1=(x, y, z) in R^3 / x-2 y+3 z=0 in S2=t(2,1,-1) / t in R
DETERMINAR S1^perp E s2^12.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, em V=R^3 com o produto interno usual, os complementos ortogonais dos subespaços
S1=l(x,y,z)inR^3 mid x-2y+3z=0r, S2=lt,(2,1,-1)mid tinRr
Para isso usamos a definição
S^perp = lvin V mid lang<= v,urang<==0;forall,uin Sr

Passo 2

Para S1 note que
S1=kerl(fr), f(x,y,z)=x-2y+3z,
e o vetor normal a esse plano é
n=(1,-2,3)
Pela teoria de subespaços em R^3, o complemento ortogonal de um plano é a reta gerada pelo seu vetor normal. Logo,
S1^perp=span(1,-2,3)

Passo 3

Para S2=spanv com v=(2,1,-1), o seu complemento ortogonal é o conjunto de todos os vetores w=(x,y,z) tais que
lang<= w,vrang<= = 2x + y - z = 0
Assim
S2^perp = l(x,y,z)inR^3 mid 2x + y - z = 0r,
que é um plano em R^3.

Passo 4

Podemos exibir uma base de S2^perp escolhendo soluções de 2x+y-z=0. Por exemplo:
  • Se x=1,y=0 então z=2, dá (1,0,2).
  • Se x=0,y=1 então z=1, dá (0,1,1).
    Logo
S2^perp = span(1,0,2),,(0,1,1)

Resposta

S1^perp = span(1,-2,3)
S2^perp = l(x,y,z)inR^3 mid 2x+y-z=0r = span(1,0,2),,(0,1,1)

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