Para cada uma das transformações lineares F dadas, encontra uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de F
F: R^5 R^3 definida por F(x, y, z, s, t)=(x+2 y+2 z+s+t, x+2 y+3 z+2 s-t, 3 x+ 6 y+8 z+5 s-1).

Passo 1

O enunciado pede, para a transformação linear
Fcolon R^5toR^3, F(x,y,z,s,t) = (,x+2y+2z+s+t,;x+2y+3z+2s-t,;3x+6y+8z+5s-t,),
que a gente ache uma base e a dimensão do núcleo (kernel) e da imagem (image) de F.
O conteúdo necessário é: representação matricial de F, redução por linhas (elimine Gauss), teorema do posto e nulidade ( dimker F + dimIm F = 5), e extração de bases dos espaços solução.

Passo 2

Representamos F pela matriz A cujas colunas são as imagens dos vetores da base canônica de R^5:
A = 1 & 2 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 & -1 3 & 6 & 8 & 5 & -1
Fazendo eliminação de Gauss:
1 & 2 & 2 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 2 & -1 3 & 6 & 8 & 5 & -1 ;xrightarrowR2 R2-R1,;R3 R3-3R1; 1 & 2 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 2 & 2 & -4 ;xrightarrowR3 R3-2R2; 1 & 2 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Isso mostra que o posto de A é 2. Logo
dimIm F = 2, dimker F = 5 - 2 = 3

Passo 3

Para achar uma base de , tomamos as colunas-pivô de , que são a coluna 1 e a coluna 3 da forma original. Assim,

Passo 4

Para
Da segunda vem é

Resposta

Base de Im F: (1,1,3),,(2,3,8) e dimIm F=2.
Base de ker F: (-2,1,0,0,0),,(1,0,-1,1,0),,(-5,0,2,0,1) e dimker F=3.

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