Nos exercícios 1 ao 18 identifique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações:
x-y=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e representar geometricamente, em R^3, a superfície dada por
x - y = 0
O conteúdo aqui é reconhecimento de superfícies de nível e, em particular, planos em três dimensões.

Passo 2

Para ver do que se trata, note que
x - y = 0
pode ser escrita na forma geral de um plano
a x + b y + c z + d = 0
com
a = 1, b = -1, c = 0, d = 0
Logo, a superfície é um plano.

Passo 3

O vetor normal a esse plano é
n = (a,b,c) = (1,, -1,,0)
Para obter uma representação paramétrica, basta resolver y=x e introduzir dois parâmetros livres u e v:
r(u,v) = (x,y,z) = (u,,u,,v),
com uinR e vinR.

Passo 4

Geomtericamente, esse plano é vertical, contém a reta de interseção com o plano z=0, que é x=y, e também contém o eixo z (quando u=0 temos x=y=0). Em outras palavras, é o plano que bisseta o ângulo formado pelos eixos x e y, estendendo-se livremente na direção z.

Resposta

A superfície é o plano em R^3 definido por
x - y = 0
Uma representação paramétrica é
r(u,v) = (u,,u,,v),
e seu vetor normal é (1,-1,0).

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