Seja V=R10[X]. Considere a transformção linear D^4: V V, onde D^4 donata s derivada quarta d^4 fd t^4. Encontre uma base e a dimensão da imagem de D^4 e do núcleo de D^4.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R10[X] (polinômios de grau <=10) e a transformação linear
D^4:Vto V, D^4(f)=d^4fdt^4
Precisamos achar uma base e a dimensão de Ker(D^4) e de Im(D^4).

Passo 2

Para encontrar Ker(D^4), resolver D^4(f)=0. Um polinômio tem quarta derivada nula se, e só se, seu grau é <=3. Logo
Ker(D^4)=,fin Vmid deg f<=3
e uma base natural é
,1,;X,;X^2,;X^3
Como há 4 vetores, diml(Ker(D^4)r)=4.

Passo 3

Para Im(D^4), observe o efeito em monômios: para k>=4
D^4(X^k) =k(k-1)(k-2)(k-3),X^,k-4,
e para k<4 a derivada é zero. Assim, os vetores não nulos são
D^4(X^4),,D^4(X^5),dots,D^4(X^10),
que são múltiplos de
1,,X,,X^2,,X^3,,X^4,,X^5,,X^6
Portanto
Im(D^4)=R6[X]
(com grau <=6), com base natural
,1,;X,;X^2,;X^3,;X^4,;X^5,;X^6
e dimensão diml(Im(D^4)r)=7.

Resposta

Base de Ker(D^4): 1,,X,,X^2,,X^3, dim=4.
Base de Im(D^4): 1,,X,,X^2,,X^3,,X^4,,X^5,,X^6, dim=7.

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