Seja
. Considere a transformção linear
, onde
donata s derivada quarta
. Encontre uma base e a dimensão da imagem de
e do núcleo de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e a transformação linear
Precisamos achar uma base e a dimensão de
e de
.
Passo 2
Para encontrar
, resolver
. Um polinômio tem quarta derivada nula se, e só se, seu grau é
. Logo
e uma base natural é
Como há
vetores,
.
Passo 3
Para
, observe o efeito em monômios: para
e para
a derivada é zero. Assim, os vetores não nulos são
que são múltiplos de
Portanto
(com grau
), com base natural
e dimensão
.
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de