1. Para cada número complexo z abaixo, calcule z \cdot \bar{z} e verifique se o resultado coincide com |z|^{2}.
    (a) z=2+i
    (b) z=-1-3 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular, para cada complexo z, o produto z\cdot\bar{z} e verificar se esse valor coincide com |z|^{2}.
Conteúdo necessário:
– Se z=a+bi, então \bar{z}=a-bi.
– O produto z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.
– O módulo de z é |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, logo |z|^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 2

Para z=2+i temos a=2 e b=1.
Calculamos
z\cdot\bar{z}=(2+i)(2-i)=2^{2}-(i)^{2}=4-(-1)=5
e
|z|^{2}=2^{2}+1^{2}=4+1=5.
Portanto, z\bar{z}=5 coincide com |z|^{2}=5.

Passo 3

Para z=-1-3i temos a=-1 e b=-3.
Calculamos
z\cdot\bar{z}=(-1-3i)(-1+3i)=(-1)^{2}-(3i)^{2}=1-(-9)=10
e
|z|^{2}=(-1)^{2}+(-3)^{2}=1+9=10.
Logo, z\bar{z}=10 coincide com |z|^{2}=10.

Resposta

(a) z\bar{z}=5 e |z|^{2}=5, coincidem.
(b) z\bar{z}=10 e |z|^{2}=10, coincidem.

Exercícios relacionados