Um polinômio
p(x) anula a matriz A
\operatorname{se} p(A)=0 .
Definição 1.3.1. Seja
A uma matriz quadrada.
O polinômio minimal de
\boldsymbol{A} é um polinômio
m(x)=x^{n}+
a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0} tal que satisifaz as seguintes condições:
m(A)=0 , isto é
m anula
A ;
m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam
A .
Teorema 1.4. Seja
T: V \rightarrow V um operador linear tal que
\alpha uma base qualquer de
V de dimensão
n, T vai ser diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de
[T]_{\beta}^{\beta} for da forma
m(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)\left(x-\lambda_{2}\right) \cdots\left(x-\lambda_{r}\right)
\operatorname{com} \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} distintos.
Pelo Teorema 1.4, a chave para saber se um operador linear é diagonalizável está em encontrar o polinômio minimal de sua matriz. Como essa nem sempre é uma tarefa simples, o Teorema de Cayley-Hamilton surge como um atalho valioso.
Esse resultado, embora pareça puramente teórico, é um algoritmo prático que simplifica a busca pelo polinômio minimal, permitindo restringir nossa investigação às variações do polinômio característico. E importante notar que compreender a teoria pode gerar grande economia de tempo, otimização no processamento de dados e eficiência na resolução de problemas, tanto práticos quanto conceituais. Vejamos
Teorema 1.5 (Teorema de Cayley-Hamilton). Seja
T: V \rightarrow V um operador linear, a uma base de
V e
p(x) o polinômio característico de T. Então
p\left([T]_{\alpha}^{\alpha}\right)=0
Exemplo 1.5.1. Seja
T: V \rightarrow V um operador linear e
\alpha uma base de
V . Suponhamos que o polinômio característico de
T seja
p(\lambda)=(\lambda-3)^{2}(\lambda-1)^{3}(\lambda+5) . Note que
p tem grau 6 , logo os as possibilidades de polinômio minimal para
T serão
p(x) ou suas variações de graus menores, isto é
\begin{aligned} & p_{1}(x)=(x-3)(x-1)(x+5) \\\ & p_{2}(x)=(x-3)^{2}(x-1)(x+5) \\\ & p_{3}(x)=(x-3)(x-1)^{2}(x+5) \\\ & p_{4}(x)=(x-3)(x-1)^{3}(x+5) \\\ & p_{5}(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{2}(x+5) \\\ & p_{6}(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{3}(x+5) \end{aligned}
Para encontrar o polinô mio minimal, verificaremos primeiro
p_{1}([T])=0 , já que é o de menor grau, caso não seja verdade, iremos para o próximo de menor grau, que neste caso será o
p_{2}([T]) e assim sucessivamente, até encontrarmos aquele que satisfaz a definição.
Exemplo 1.5.2. Seja
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear dado por
T(x, y)=(2 x, y-x) .
a. Determine a matriz da transformação linear;
b. Encontre os autovalores e os autovetores de
T ;
c. Encontre o polinômio característico de
T ;
d. T é diagonalizável?
Solução 1.5.2.1. a. Note que, considerando a base canônica do
\mathbb{R}^{2} , temos que
[T]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
b. Para encontrar
v=(x, y) tal que
T v=\lambda v para algum
\lambda \in \mathbb{R}^{2} , vimos que basta resolver a seguinte equação matricial
Como o objetivo é encontrar os valores de
v não nulos que satisfaçam a equação 7 , vimos que isso equivale a encontrar
\lambda tal que
\begin{aligned} & \operatorname{det}[T]-\lambda I)=0 \\\ & \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]-\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]= \\\ & \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc} 2-\lambda & 0 \\\\ -1 & 1-\lambda \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}
Assim, temos que o polinômio característico de
T é
Logo,
\lambda_{1}=2 e
\lambda_{2}=1 . Para
\lambda_{1}=2 , temos que os auto vetores serão tais que
T(x, y)=(2 x, y-x)=2(x, y) isto é
\left\{\begin{array}{l} 2 x=2 x \\\ y-x=2 y \end{array}\right.
Logo temos que
T v=\lambda v para todo
(x, y)=(x,-x) . Já para o caso em que
\lambda_{2}=1 , temos que
\left\{\begin{array}{l} 2 x=x \\\ y-x=y \end{array}\right.
portanto,
T v=v para todo
(x, y)=(0, y) .
c. O polinômio característico foi encontrado em (3). Note que
p(x)=(2-x)(1-x) é o nosso único candidato a polinômio minimal e possui a forma do Teorema 1, pois já tem o menor grau possível. Basta vermos se
p(T)=0 , em caso afirmativo,
T será diagonalizável.
\begin{aligned} p(T) & =\left(\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]\right) \cdot\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]\right) \\\ & =\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] \\\ & =\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}
Logo
T é diagonalizável e admite uma base de autovetores para a qual a matriz de
T será
[T]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]
1.6 Exercícios
Verifique, seguindo os passos dos exemplos anteriores, se
T dada a seguir é diagonalizável.
(a)
T: \mathbb{R}^{4} \mathbb{R}^{4} , dada por
T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z, t)
(b)
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} , dada pela matriz na base canônica
[T]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3\end{array}\right]
(c)
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por
T(x, y)=(y,-x) .
(d)
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Para quais valores de
a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
(a)
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]
(b)
B=\left[\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
Descreva, com detalhes, aplicações do processo de diagonalização de autovalores e autovetores em contextos práticos.