Um polinômio p(x) anula a matriz A \operatorname{se} p(A)=0.
Definição 1.3.1. Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de \boldsymbol{A} é um polinômio m(x)=x^{n}+ a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0} tal que satisifaz as seguintes condições:
  1. m(A)=0, isto é m anula A;
  2. m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam A.
Teorema 1.4. Seja T: V \rightarrow V um operador linear tal que \alpha uma base qualquer de V de dimensão n, T vai ser diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de [T]_{\beta}^{\beta} for da forma
m(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)\left(x-\lambda_{2}\right) \cdots\left(x-\lambda_{r}\right)
\operatorname{com} \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} distintos.
Pelo Teorema 1.4, a chave para saber se um operador linear é diagonalizável está em encontrar o polinômio minimal de sua matriz. Como essa nem sempre é uma tarefa simples, o Teorema de Cayley-Hamilton surge como um atalho valioso.
Esse resultado, embora pareça puramente teórico, é um algoritmo prático que simplifica a busca pelo polinômio minimal, permitindo restringir nossa investigação às variações do polinômio característico. E importante notar que compreender a teoria pode gerar grande economia de tempo, otimização no processamento de dados e eficiência na resolução de problemas, tanto práticos quanto conceituais. Vejamos
Teorema 1.5 (Teorema de Cayley-Hamilton). Seja T: V \rightarrow V um operador linear, a uma base de V e p(x) o polinômio característico de T. Então
p\left([T]_{\alpha}^{\alpha}\right)=0
Exemplo 1.5.1. Seja T: V \rightarrow V um operador linear e \alpha uma base de V. Suponhamos que o polinômio característico de T seja p(\lambda)=(\lambda-3)^{2}(\lambda-1)^{3}(\lambda+5). Note que p tem grau 6 , logo os as possibilidades de polinômio minimal para T serão p(x) ou suas variações de graus menores, isto é
\begin{aligned} & p_{1}(x)=(x-3)(x-1)(x+5) \\\ & p_{2}(x)=(x-3)^{2}(x-1)(x+5) \\\ & p_{3}(x)=(x-3)(x-1)^{2}(x+5) \\\ & p_{4}(x)=(x-3)(x-1)^{3}(x+5) \\\ & p_{5}(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{2}(x+5) \\\ & p_{6}(x)=(x-3)^{2}(x-1)^{3}(x+5) \end{aligned}
Para encontrar o polinô mio minimal, verificaremos primeiro p_{1}([T])=0, já que é o de menor grau, caso não seja verdade, iremos para o próximo de menor grau, que neste caso será o p_{2}([T]) e assim sucessivamente, até encontrarmos aquele que satisfaz a definição.
Exemplo 1.5.2. Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear dado por T(x, y)=(2 x, y-x).
a. Determine a matriz da transformação linear;
b. Encontre os autovalores e os autovetores de T;
c. Encontre o polinômio característico de T;
d. T é diagonalizável?
Solução 1.5.2.1. a. Note que, considerando a base canônica do \mathbb{R}^{2}, temos que
[T]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]
b. Para encontrar v=(x, y) tal que T v=\lambda v para algum \lambda \in \mathbb{R}^{2}, vimos que basta resolver a seguinte equação matricial
[[T]-\lambda I=0][v]=0
Como o objetivo é encontrar os valores de v não nulos que satisfaçam a equação 7 , vimos que isso equivale a encontrar \lambda tal que
\begin{aligned} & \operatorname{det}[T]-\lambda I)=0 \\\ & \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]-\lambda\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]= \\\ & \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc} 2-\lambda & 0 \\\\ -1 & 1-\lambda \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}
Assim, temos que o polinômio característico de T é
(2-\lambda)(1-\lambda)=0
Logo, \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=1. Para \lambda_{1}=2, temos que os auto vetores serão tais que T(x, y)=(2 x, y-x)=2(x, y) isto é
\left\{\begin{array}{l} 2 x=2 x \\\ y-x=2 y \end{array}\right.
Logo temos que T v=\lambda v para todo (x, y)=(x,-x). Já para o caso em que \lambda_{2}=1, temos que
\left\{\begin{array}{l} 2 x=x \\\ y-x=y \end{array}\right.
portanto, T v=v para todo (x, y)=(0, y).
c. O polinômio característico foi encontrado em (3). Note que p(x)=(2-x)(1-x) é o nosso único candidato a polinômio minimal e possui a forma do Teorema 1, pois já tem o menor grau possível. Basta vermos se p(T)=0, em caso afirmativo, T será diagonalizável.
\begin{aligned} p(T) & =\left(\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]\right) \cdot\left(\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]\right) \\\ & =\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] \\\ & =\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{aligned}
Logo T é diagonalizável e admite uma base de autovetores para a qual a matriz de T será
[T]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]

1.6 Exercícios

  1. Verifique, seguindo os passos dos exemplos anteriores, se T dada a seguir é diagonalizável.
    (a) T: \mathbb{R}^{4} \mathbb{R}^{4}, dada por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z, t)
    (b) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada pela matriz na base canônica [T]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3\end{array}\right]
    (c) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(y,-x).
    (d) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
  2. Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
    (a) A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]
    (b) B=\left[\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
  3. Descreva, com detalhes, aplicações do processo de diagonalização de autovalores e autovetores em contextos práticos.

Passo 1

O enunciado pede para utilizarmos o conceito de diagonalizabilidade de operadores/matrizes, que se fundamenta no fato de que um operador linear é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares simples (Teorema 1.4), ou equivalentemente, se a soma das dimensões dos autoespaços (geometria multiplicidade) iguala a dimensão total. Também vamos usar o polinômio característico para obter valores próprios e suas multiplicidades. Precisamos aplicar isso:
  1. Verificar diagonalizabilidade de quatro transformações em dimensões 4, 3, 2 e 3.
  2. Determinar para que valores de a duas matrizes 2\times2 são diagonalizáveis.
  3. Descrever aplicações práticas do processo de diagonalização.

Passo 2

(1 a) Seja T:\mathbb R^4\to\mathbb R^4,
T(x,y,z,t)=(3x-4z,\;3y+5z,\;-z,\;t).
Na base canônica,
A=\begin{pmatrix} 3 &0 &-4&0\\\\ 0&3&5&0\\\\ 0&0&-1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)^2(-1-\lambda)(1-\lambda).
Portanto os valores próprios são \lambda=3 (alg. mult. 2), \lambda=-1 e \lambda=1 (cada um de mult. 1).
– Para \lambda=3, resolve-se (A-3I)v=0, dando condição z=0 e t=0, então x,y livres → dim autespaço =2.
– Para \lambda=-1, obtém-se dim autespaço =1 (iguais às mult. alg.).
– Para \lambda=1, idem dim autespaço =1.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1+1=4, igual à dimensão do espaço, T é diagonalizável.

Passo 3

(1 b) A matriz triangular
B=\begin{pmatrix} 2&0&1\\\\ 0&-3&1\\\\ 0&0&-3 \end{pmatrix}
tem polinômio característico (2-\lambda)(-3-\lambda)^2. Para \lambda=-3 alg. mult. =2, mas resolver (B+3I)v=0 dá apenas dim autespaço =1 (< 2). Logo não há base de auto­vetores completa e T não é diagonalizável.

Passo 4

(1 c) A matriz
C=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}
tem polinômio característico \lambda^2+1, cujas raízes são \pm i\notin\mathbb R. Não existem vetores reais próprios, logo não é diagonalizável sobre \mathbb R.

Passo 5

(1 d) Seja
D=\begin{pmatrix} 1&1&0\\\\ 1&-1&2\\\\ 2&1&-1 \end{pmatrix}.
Calcula-se
\det(D-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda^2+4\lambda+4=0
que fatoriza como (\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda+2). Três valores próprios distintos implicam três autoespaços de dimensão 1 cada, somando 3= dim \mathbb R^3. Logo T é diagonalizável.

Passo 6

(2 a)
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&a\end{pmatrix},\quad p(\lambda)=(1-\lambda)(a-\lambda).
Se a\neq1, os valores próprios são distintos e A é diagonalizável. Se a=1, então A é bloco de Jordan não trivial e não é diagonalizável.

Passo 7

(2 b)
B=\begin{pmatrix}1&a\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad p(\lambda)=(1-\lambda)^2.
O autoespaço de \lambda=1 satisfaz a\,y=0. Se a\neq0, então y=0 e dim autespaço =1 < 2\to não diagonalizável. Se a=0, B=I e é diagonalizável.

Passo 8

(3) Aplicações práticas da diagonalização:
– Resolução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneas: ao diagonalizar a matriz A, calculamos facilmente \exp(At) e resolvemos \dot x=Ax.
– Cálculo rápido de potências de matrizes: A^k=P\,D^k\,P^{-1} reduz a computação a elevar escalares.
– Análise modal em engenharia (vibrações): as frequências naturais de um sistema mecânico vêm dos autovalores e os modos de vibração dos autovetores.
– Estatística multivariada (PCA): diagonalizar a matriz de covariância separa as componentes principais, otimizando redução de dimensionalidade.

Resposta

  1. (a) diagonalizável; (b) não diagonalizável; (c) não diagonalizável sobre \mathbb R; (d) diagonalizável.
  2. (a) diagonalizável se, e somente se, a\neq1. (b) diagonalizável se, e somente se, a=0.
  3. Vários contextos: sistemas diferenciais, potências de matrizes, análise modal em vibrações, PCA em estatística etc.

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