Um polinômio p(x) anula a matriz A \operatorname{se} p(A)=0.
Definição 1.3.1. Seja A uma matriz quadrada. O polinômio minimal de \boldsymbol{A} é um polinômio m(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{0} tal que satisifaz as seguintes condições:
m(A)=0, isto é m anula A;
m(x) é o polinômio de menor grau dentre aqueles que anulam A.
Teorema 1.4. Seja T: V \rightarrow V um operador linear tal que \alpha uma base qualquer de V de dimensão n, T vai ser diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de [T]_{\beta}^{\beta} for da forma
\operatorname{com} \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} distintos.
Pelo Teorema 1.4, a chave para saber se um operador linear é diagonalizável está em encontrar o polinômio minimal de sua matriz. Como essa nem sempre é uma tarefa simples, o Teorema de Cayley-Hamilton surge como um atalho valioso.
Esse resultado, embora pareça puramente teórico, é um algoritmo prático que simplifica a busca pelo polinômio minimal, permitindo restringir nossa investigação às variações do polinômio característico. E importante notar que compreender a teoria pode gerar grande economia de tempo, otimização no processamento de dados e eficiência na resolução de problemas, tanto práticos quanto conceituais. Vejamos
Teorema 1.5 (Teorema de Cayley-Hamilton). Seja T: V \rightarrow V um operador linear, a uma base de V e p(x) o polinômio característico de T. Então
p\left([T]_{\alpha}^{\alpha}\right)=0
Exemplo 1.5.1. Seja T: V \rightarrow V um operador linear e \alpha uma base de V. Suponhamos que o polinômio característico de T seja p(\lambda)=(\lambda-3)^{2}(\lambda-1)^{3}(\lambda+5). Note que p tem grau 6 , logo os as possibilidades de polinômio minimal para T serão p(x) ou suas variações de graus menores, isto é
Para encontrar o polinô mio minimal, verificaremos primeiro p_{1}([T])=0, já que é o de menor grau, caso não seja verdade, iremos para o próximo de menor grau, que neste caso será o p_{2}([T]) e assim sucessivamente, até encontrarmos aquele que satisfaz a definição.
Exemplo 1.5.2. Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear dado por T(x, y)=(2 x, y-x).
a. Determine a matriz da transformação linear;
b. Encontre os autovalores e os autovetores de T;
c. Encontre o polinômio característico de T;
d. T é diagonalizável?
Solução 1.5.2.1. a. Note que, considerando a base canônica do \mathbb{R}^{2}, temos que
portanto, T v=v para todo (x, y)=(0, y).
c. O polinômio característico foi encontrado em (3). Note que p(x)=(2-x)(1-x) é o nosso único candidato a polinômio minimal e possui a forma do Teorema 1, pois já tem o menor grau possível. Basta vermos se p(T)=0, em caso afirmativo, T será diagonalizável.
Verifique, seguindo os passos dos exemplos anteriores, se T dada a seguir é diagonalizável.
(a) T: \mathbb{R}^{4} \mathbb{R}^{4}, dada por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z, t)
(b) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, dada pela matriz na base canônica [T]=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & -3\end{array}\right]
(c) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(y,-x).
(d) T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
(a) A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]
(b) B=\left[\begin{array}{ll}1 & a \\\\ 0 & 1\end{array}\right]
Descreva, com detalhes, aplicações do processo de diagonalização de autovalores e autovetores em contextos práticos.
Passo 1
O enunciado pede para utilizarmos o conceito de diagonalizabilidade de operadores/matrizes, que se fundamenta no fato de que um operador linear é diagonalizável se, e somente se, seu polinômio minimal se decompõe em fatores lineares simples (Teorema 1.4), ou equivalentemente, se a soma das dimensões dos autoespaços (geometria multiplicidade) iguala a dimensão total. Também vamos usar o polinômio característico para obter valores próprios e suas multiplicidades. Precisamos aplicar isso:
Verificar diagonalizabilidade de quatro transformações em dimensões 4, 3, 2 e 3.
Determinar para que valores de a duas matrizes 2\times2 são diagonalizáveis.
Descrever aplicações práticas do processo de diagonalização.
Portanto os valores próprios são \lambda=3 (alg. mult. 2), \lambda=-1 e \lambda=1 (cada um de mult. 1).
– Para \lambda=3, resolve-se (A-3I)v=0, dando condição z=0 e t=0, então x,y livres → dim autespaço =2.
– Para \lambda=-1, obtém-se dim autespaço =1 (iguais às mult. alg.).
– Para \lambda=1, idem dim autespaço =1.
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2+1+1=4, igual à dimensão do espaço, T é diagonalizável.
tem polinômio característico (2-\lambda)(-3-\lambda)^2. Para \lambda=-3 alg. mult. =2, mas resolver (B+3I)v=0 dá apenas dim autespaço =1 (< 2). Logo não há base de autovetores completa e T não é diagonalizável.
Passo 4
(1 c) A matriz
C=\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}
tem polinômio característico \lambda^2+1, cujas raízes são \pm i\notin\mathbb R. Não existem vetores reais próprios, logo não é diagonalizável sobre \mathbb R.
que fatoriza como (\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda+2). Três valores próprios distintos implicam três autoespaços de dimensão 1 cada, somando 3= dim \mathbb R^3. Logo T é diagonalizável.
O autoespaço de \lambda=1 satisfaz a\,y=0. Se a\neq0, então y=0 e dim autespaço =1 < 2\to não diagonalizável. Se a=0, B=I e é diagonalizável.
Passo 8
(3) Aplicações práticas da diagonalização:
– Resolução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneas: ao diagonalizar a matriz A, calculamos facilmente \exp(At) e resolvemos \dot x=Ax.
– Cálculo rápido de potências de matrizes: A^k=P\,D^k\,P^{-1} reduz a computação a elevar escalares.
– Análise modal em engenharia (vibrações): as frequências naturais de um sistema mecânico vêm dos autovalores e os modos de vibração dos autovetores.
– Estatística multivariada (PCA): diagonalizar a matriz de covariância separa as componentes principais, otimizando redução de dimensionalidade.
Resposta
(a) diagonalizável; (b) não diagonalizável; (c) não diagonalizável sobre \mathbb R; (d) diagonalizável.
(a) diagonalizável se, e somente se, a\neq1. (b) diagonalizável se, e somente se, a=0.
Vários contextos: sistemas diferenciais, potências de matrizes, análise modal em vibrações, PCA em estatística etc.