Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
(a) A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[6pt] 0 & a \end{pmatrix}
é diagonalizável. O conteúdo principal aqui é diagonalização de matrizes via autovalores e autovetores: precisamos achar os autovalores de A e verificar se, para cada caso, o espaço próprio tem dimensão igual à multiplicidade algébrica do autovalor.]

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Temos
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\[3pt] 0 & a-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(a-\lambda).
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = a.]

Passo 3

Se \lambda_1 e \lambda_2 forem diferentes, ou seja, se a \neq 1, então a matriz tem dois autovalores distintos. Nesse caso, um teorema geral garante que há dois autovetores independentes e, portanto, A é diagonalizável sempre que a \neq 1.

Passo 4

Agora o caso a = 1. Nesse caso ambos os autovalores coincidem em \lambda = 1 com multiplicidade algébrica 2. Para ser diagonalizável precisamos de dois autovetores independentes associados a \lambda=1. Resolvendo
(A - I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[3pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
vemos que a única equação não-trivial é x_2 = 0. Logo o espaço próprio é
\{(x_1,0) \mid x_1\in\mathbb{R}\},
que tem dimensão 1. Como a dimensão do espaço próprio (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), A não é diagonalizável quando a=1.]

Passo 5

Concluímos que A é diagonalizável exatamente quando seu autovalor duplo não aparece, ou seja, quando a\neq1.

Resposta

A matriz A é diagonalizável para todos os valores de a tais que a \neq 1.

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