Demonstre que, em um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler, é par o número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas.
Passo 1
O enunciado nos dá um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler. Vou listar claramente o que isso significa e o que nos pedem:
-
Dados extraídos do enunciado:
-
é o número de vértices do poliedro. -
é o número de arestas do poliedro. -
é o número de faces do poliedro. - A fórmula de Euler vale:
.
-
-
O que é pedido:
- Mostrar que o número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas (ou seja, o número de vértices de grau ímpar) é um número par.
Observação: vou chamar de
o número de arestas incidentes ao vértice
(o “grau” de
). Não é preciso usar mais hipóteses além das dadas (poliedro bem comportado, arestas ligam dois vértices).
Passo 2
Interpretando o poliedro como um grafo planar conectado: os vértices do poliedro são os vértices do grafo, as arestas do poliedro são as arestas do grafo, e cada aresta tem duas extremidades (liga dois vértices). Vamos trabalhar com a soma dos graus dos vértices:
Aqui a soma é sobre todos os vértices do poliedro.
Passo 3
Provar a relação básica (lema das mãos dadas / handshake lemma): cada aresta tem exatamente duas extremidades, portanto contribui com
para a soma total dos graus. Assim, ao contar todos os pares “vértice–aresta incidente” obtemos duas contagens equivalentes:
- contando arestas: cada aresta contribui 2;
- contando por vértice: soma-se
para cada vértice.
Logo vale a identidade:
Explicação intuitiva: passe a mão em cada aresta; cada aresta toca dois vértices, então ao final cada aresta foi contada duas vezes.
Passo 4
Observar paridade da soma: o lado direito é
, que é um número par. Portanto a soma dos graus dos vértices é par:
Passo 5
Passar ao argumento de paridade dos vértices ímpares. Separe os vértices em dois grupos: os de grau par e os de grau ímpar. Um vértice de grau par contribui com
quando reduzimos sua contribuição módulo
; um vértice de grau ímpar contribui com
módulo
. Se chamarmos
o número de vértices de grau ímpar, temos, trabalhando módulo
:
Mas pelo passo anterior
é par, ou seja,
Comparando as duas relações obtemos
isto é,
é par.
Passo 6
Interpretação final e exemplo rápido para fixar: a conclusão é que o número de vértices onde chegam um número ímpar de arestas é par. Exemplos que concordam com isso: o tetraedro tem
vértices todos com grau
(ímpar), e
é par; o cubo tem
vértices todos com grau
, e
é par. Isso ilustra a conclusão e ajuda a confiar no argumento de paridade.
Resposta
O número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas é par.