Demonstre que, em um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler, é par o número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas.

Passo 1

O enunciado nos dá um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler. Vou listar claramente o que isso significa e o que nos pedem:
  • Dados extraídos do enunciado:
    • V é o número de vértices do poliedro.
    • E é o número de arestas do poliedro.
    • F é o número de faces do poliedro.
    • A fórmula de Euler vale: V - E + F = 2.
  • O que é pedido:
    • Mostrar que o número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas (ou seja, o número de vértices de grau ímpar) é um número par.
Observação: vou chamar de \deg(v) o número de arestas incidentes ao vértice v (o “grau” de v). Não é preciso usar mais hipóteses além das dadas (poliedro bem comportado, arestas ligam dois vértices).

Passo 2

Interpretando o poliedro como um grafo planar conectado: os vértices do poliedro são os vértices do grafo, as arestas do poliedro são as arestas do grafo, e cada aresta tem duas extremidades (liga dois vértices). Vamos trabalhar com a soma dos graus dos vértices:
\sum_{v\in V} \deg(v).
Aqui a soma é sobre todos os vértices do poliedro.

Passo 3

Provar a relação básica (lema das mãos dadas / handshake lemma): cada aresta tem exatamente duas extremidades, portanto contribui com 2 para a soma total dos graus. Assim, ao contar todos os pares “vértice–aresta incidente” obtemos duas contagens equivalentes:
  • contando arestas: cada aresta contribui 2;
  • contando por vértice: soma-se \deg(v) para cada vértice.
Logo vale a identidade:
\sum_{v\in V} \deg(v) = 2E.
Explicação intuitiva: passe a mão em cada aresta; cada aresta toca dois vértices, então ao final cada aresta foi contada duas vezes.

Passo 4

Observar paridade da soma: o lado direito é 2E, que é um número par. Portanto a soma dos graus dos vértices é par:
\sum_{v\in V} \deg(v)\\ \text{é par}.é

Passo 5

Passar ao argumento de paridade dos vértices ímpares. Separe os vértices em dois grupos: os de grau par e os de grau ímpar. Um vértice de grau par contribui com 0 quando reduzimos sua contribuição módulo 2; um vértice de grau ímpar contribui com 1 módulo 2. Se chamarmos k o número de vértices de grau ímpar, temos, trabalhando módulo 2:
\sum_{v\in V} \deg(v) \equiv k \pmod{2}.
Mas pelo passo anterior \sum_{v\in V} \deg(v) é par, ou seja,
\sum_{v\in V} \deg(v) \equiv 0 \pmod{2}.
Comparando as duas relações obtemos
k \equiv 0 \pmod{2},
isto é, k é par.

Passo 6

Interpretação final e exemplo rápido para fixar: a conclusão é que o número de vértices onde chegam um número ímpar de arestas é par. Exemplos que concordam com isso: o tetraedro tem 4 vértices todos com grau 3 (ímpar), e 4 é par; o cubo tem 8 vértices todos com grau 3, e 8 é par. Isso ilustra a conclusão e ajuda a confiar no argumento de paridade.

Resposta

O número de vértices nos quais se encontram um número ímpar de arestas é par.

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