- Para cada número real
, considere a matriz de rotação
. Faça o que se pede:
a) Mostre que
.
b) Obtenha a matriz inversa de
. É verdade que
? Justifique.
a) Mostre que
b) Obtenha a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado dá, para cada
, a matriz
Pede-se:
- (a) Mostrar que
. - (b) Obter a matriz inversa de
e responder se , justificando.
Informações relevantes dadas: a forma explícita dos elementos de
em termos de
e
. Nada mais é necessário.]
Passo 2
Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes
: se
então o produto
é a matriz
cujas entradas são
Vou aplicar essa regra ao produto
. Também vou usar as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos:
Passo 3
Calculo explícito de
. Escrevo cada
como
Usando a regra do Passo 2, a entrada
do produto é
A entrada
é
A entrada
é
A entrada
é
Passo 4
Agora reconheço as expressões trigonométricas obtidas com as fórmulas de soma de ângulos do Passo 2. Em particular,
Substituindo, o produto fica
Portanto
, que é exatamente o que se pedia em (a).]
Passo 5
Para encontrar a inversa de
procuro uma matriz
tal que
. Um jeito natural é observar que a rotação por
é invertida por rotacionar por
. Ou seja, tentar
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Verifico que
. Faço o produto (ou uso a propriedade de soma de ângulos): pelos cálculos do Passo 3 com sinais trocados, tem-se
Analogamente
. Logo
é a inversa de
. Concluímos que
Passo 7
Agora comparo com a transposta. A transposta de
é
Isso coincide exatamente com a matriz
encontrada no Passo 6. Portanto
Comentário conceitual curto (útil para prova): uma matriz
que satisfaz
é dita ortogonal; para matrizes ortogonais vale
. Aqui
é ortogonal (além disso
), então a igualdade entre inversa e transposta era de esperar.]
Resposta
(a)
.
(b)
, e sim,
.]