1. Para cada número real \alpha, considere a matriz de rotação T_{\alpha}=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right). Faça o que se pede:
    a) Mostre que T_{\alpha} \cdot T_{\alpha}=T_{2 \alpha}.
    b) Obtenha a matriz inversa de T_{\alpha}. É verdade que \left(T_{\alpha}\right)^{-1}=\left(T_{\alpha}\right)^{t} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá, para cada \alpha\in\mathbb{R}, a matriz
T_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\[4pt]\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
Pede-se:
  • (a) Mostrar que T_{\alpha}\cdot T_{\alpha}=T_{2\alpha}.
  • (b) Obter a matriz inversa de T_{\alpha} e responder se \left(T_{\alpha}\right)^{-1}=\left(T_{\alpha}\right)^{t}, justificando.
Informações relevantes dadas: a forma explícita dos elementos de T_{\alpha} em termos de \cos\alpha e \sin\alpha. Nada mais é necessário.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre multiplicação de matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}e & f\\\ g & h\end{pmatrix},
então o produto AB é a matriz 2\times2 cujas entradas são
(AB)_{11}=ae+bg,\qquad (AB)_{12}=af+bh,
(AB)_{21}=ce+dg,\qquad (AB)_{22}=cf+dh.
Vou aplicar essa regra ao produto T_{\alpha}\cdot T_{\alpha}. Também vou usar as fórmulas trigonométricas de soma de ângulos:
\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y, \qquad \sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y.

Passo 3

Calculo explícito de T_{\alpha}\cdot T_{\alpha}. Escrevo cada T_{\alpha} como
T_{\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha\\[4pt]\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
Usando a regra do Passo 2, a entrada (1,1) do produto é
(T_{\alpha}T_{\alpha})_{11}=\cos\alpha\cdot\cos\alpha + (-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.
A entrada (1,2) é
(T_{\alpha}T_{\alpha})_{12}=\cos\alpha\cdot(-\sin\alpha) + (-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha = -\cos\alpha\sin\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = -2\sin\alpha\cos\alpha.
A entrada (2,1) é
(T_{\alpha}T_{\alpha})_{21}=\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos\alpha\cdot\sin\alpha = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.
A entrada (2,2) é
(T_{\alpha}T_{\alpha})_{22}=\sin\alpha\cdot(-\sin\alpha) + \cos\alpha\cdot\cos\alpha = -\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.]

Passo 4

Agora reconheço as expressões trigonométricas obtidas com as fórmulas de soma de ângulos do Passo 2. Em particular,
\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \qquad \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha.
Substituindo, o produto fica
T_{\alpha}T_{\alpha} = \begin{pmatrix}\cos^2\alpha-\sin^2\alpha & -2\sin\alpha\cos\alpha\\[4pt]2\sin\alpha\cos\alpha & \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(2\alpha) & -\sin(2\alpha)\\[4pt]\sin(2\alpha) & \cos(2\alpha)\end{pmatrix}.
Portanto T_{\alpha}T_{\alpha}=T_{2\alpha}, que é exatamente o que se pedia em (a).]

Passo 5

Para encontrar a inversa de T_{\alpha} procuro uma matriz X tal que T_{\alpha}X=I. Um jeito natural é observar que a rotação por \alpha é invertida por rotacionar por -\alpha. Ou seja, tentar
X=T_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\\[4pt]\sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)\end{pmatrix}.
Usando \cos(-\alpha)=\cos\alpha e \sin(-\alpha)=-\sin\alpha, obtemos
T_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\[4pt]-\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verifico que T_{\alpha}T_{-\alpha}=I. Faço o produto (ou uso a propriedade de soma de ângulos): pelos cálculos do Passo 3 com sinais trocados, tem-se
T_{\alpha}T_{-\alpha}=T_{\alpha+(-\alpha)}=T_{0}=\begin{pmatrix}\cos 0 & -\sin 0\\[4pt]\sin 0 & \cos 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Analogamente T_{-\alpha}T_{\alpha}=I. Logo T_{-\alpha} é a inversa de T_{\alpha}. Concluímos que
\left(T_{\alpha}\right)^{-1}=T_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\[4pt]-\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora comparo com a transposta. A transposta de T_{\alpha} é
\left(T_{\alpha}\right)^{t}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\[4pt]-\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}.
Isso coincide exatamente com a matriz T_{-\alpha} encontrada no Passo 6. Portanto
\left(T_{\alpha}\right)^{-1}=\left(T_{\alpha}\right)^{t}.
Comentário conceitual curto (útil para prova): uma matriz A que satisfaz A^{t}A=I é dita ortogonal; para matrizes ortogonais vale A^{-1}=A^{t}. Aqui T_{\alpha} é ortogonal (além disso \det T_{\alpha}=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1), então a igualdade entre inversa e transposta era de esperar.]

Resposta

(a) T_{\alpha}T_{\alpha}=T_{2\alpha}.
(b) \left(T_{\alpha}\right)^{-1}=T_{-\alpha}=\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\[4pt]-\sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}, e sim, \left(T_{\alpha}\right)^{-1}=\left(T_{\alpha}\right)^{t}.]

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