Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas tém dimensão 1 , isto é, sĩo retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \begin{array}{r}\left\{\begin{array}{r}-10 x-20 y=-5, \\\\ 10 x+20 y=5,\end{array}\right. \\\ \left\{\begin{array}{r}5 x+9 y+3 z=6, \\\\ 4 x+z=7, \\\\ 12 x+3 z=21 .\end{array}\right.\end{array}
(B)
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{r} 20 x+16 y+8 z=12, \\\\ -18 y-9 z=-6 . \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{r} 27 x+9 y+18 z=15, \\\\ -36 x-12 y-24 z=-20 . \end{array}\right. \end{aligned}
(C)
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{r} 36 x+12 y+24 z=20 \\\\ -12 x-3 z=-21 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{r} 15 x+27 y+9 z=18 \\\\ -20 x-36 y-12 z=-24 \end{array}\right. \end{aligned}
(D) \left\{\begin{array}{r}9 x+3 y+6 z=5, \\\\ 36 x+12 y+24 z=20, \\\\ 2 x+4 y=1 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} -27 x-9 y-18 z=-15 \\\\ 16 x+4 z=28 \end{array}\right.
(E)
\left\{\begin{aligned} 9 x+3 y+6 z & =5 \\\\ 2 x+4 y & =1 \\\ x & =7 \end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}27 x+9 y+18 z=15, \\\\ -16 x-4 z=-28 .\end{array}\right.
(F)
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{r} 5 x+4 y+2 z=3 \\\\ 6 y+3 z=2 \\\\ -18 y-9 z=-6 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{aligned} 36 x+12 y+24 z & =20 \\\\ -6 x-12 y & =-3 \\\ x & =7 \end{aligned}\right. \end{aligned}

Passo 1

Temos seis opções, cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z). Queremos identificar em qual opção ambos os sistemas têm conjunto-solução de dimensão 1 (ou seja, cada sistema tem posto igual a 2 e é consistente), pois em \mathbb{R}^3 isso corresponde a retas.

Passo 2

Opção (A).
Sistema 1:
\begin{cases} -10x-20y=-5,\\\\ 10x+20y=5. \end{cases}
A segunda equação é -1 vez a primeira, logo o posto é 1 e a dimensão da solução é 3-1=2. Já basta para descartar (A), pois não é reta.

Passo 3

Opção (B).
Sistema 1:
\begin{cases} 20x+16y+8z=12,\\\\ -18y-9z=-6. \end{cases}
Aqui as duas equações são independentes \mathrm{posto}=2\), dando reta. Sistema 2: \[\begin{cases} 27x+9y+18z=15,\\\\ -36x-12y-24z=-20. \end{cases}
A segunda é (-\tfrac{4}{3}] vez a primeira, então o posto é 1 e o conjunto-solução é plano. Logo (B) falha.

Passo 4

Opção (C).
Sistema 1:
\begin{cases} 36x+12y+24z=20,\\\\ -12x-3z=-21. \end{cases}
As equações são independentes \mathrm{posto}=2\), reta. Sistema 2: \[\begin{cases} 15x+27y+9z=18,\\\\ -20x-36y-12z=-24. \end{cases}
A segunda é (-\tfrac{4}{3}] vez a primeira, então posto 1 e plano. Logo (C) falha.

Passo 5

Opção (D).
Sistema 1:
\begin{cases} 9x+3y+6z=5,\\\\ 36x+12y+24z=20,\\\\ 2x+4y=1. \end{cases}
A segunda equação é 4\) vezes a primeira, sobrando duas independentes \(\mathrm{posto}=2\), reta. Sistema 2: \[\begin{cases} -27x-9y-18z=-15,\\\\ 16x+4z=28. \end{cases}
As duas equações são independentes (\mathrm{posto}=2], reta. Logo em (D) ambos os sistemas geram retas.

Passo 6

Opção (E).
Sistema 1:
\begin{cases} 9x+3y+6z=5,\\\\ 2x+4y=1,\\\ x=7. \end{cases}
Substituindo x=7 as demais equações determinam y e z unicamente, logo \mathrm{posto}=3 e ponto (dimensão 0). Falha.

Passo 7

Opção (F).
Sistema 1:
\begin{cases} 5x+4y+2z=3,\\\\ 6y+3z=2,\\\\ -18y-9z=-6. \end{cases}
A terceira é múltiplo da segunda, sobrando duas independentes \mathrm{posto}=2\), reta. Sistema 2: \[\begin{cases} 36x+12y+24z=20,\\\\ -6x-12y=-3,\\\ x=7. \end{cases}
Aqui x=7\] e as outras duas equações determinam \(y,z sem grau de liberdade, logo \mathrm{posto}=3, ponto. Falha.

Resposta

(D)

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