Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas tém dimensão 1 , isto é, sĩo retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \begin{array}{r}\left\{\begin{array}{r}-10 x-20 y=-5, \\\\ 10 x+20 y=5,\end{array}\right. \\\ \left\{\begin{array}{r}5 x+9 y+3 z=6, \\\\ 4 x+z=7, \\\\ 12 x+3 z=21 .\end{array}\right.\end{array}
(B)
Temos seis opções, cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z). Queremos identificar em qual opção ambos os sistemas têm conjunto-solução de dimensão 1 (ou seja, cada sistema tem posto igual a 2 e é consistente), pois em \mathbb{R}^3 isso corresponde a retas.
A segunda equação é 4\) vezes a primeira, sobrando duas independentes \(\mathrm{posto}=2\), reta.
Sistema 2:
\[\begin{cases} -27x-9y-18z=-15,\\\\ 16x+4z=28. \end{cases}
As duas equações são independentes (\mathrm{posto}=2], reta. Logo em (D) ambos os sistemas geram retas.
A terceira é múltiplo da segunda, sobrando duas independentes \mathrm{posto}=2\), reta.
Sistema 2:
\[\begin{cases} 36x+12y+24z=20,\\\\ -6x-12y=-3,\\\ x=7. \end{cases}
Aqui x=7\] e as outras duas equações determinam \(y,z sem grau de liberdade, logo \mathrm{posto}=3, ponto. Falha.