Questão 4. (2 pontos) Estude a posição relativa entre r: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1} \mathrm{e} s:\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z-1=0 \\\\ 2 x-y-2 z=0\end{array}\right.. (1 ponto) Determine a distância de r a s. (1 ponto) Estabeleça o plano que contém r e é paralelo a s.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta
r:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}
e a reta
s:\begin{cases} x+y-3z-1=0,\\\\ 2x-y-2z=0, \end{cases}
depois calcular a distância entre elas e, por fim, encontrar o plano que contém r e é paralelo a s. Vamos usar coordenadas paramétricas de r, produto vetorial para obter a direção de s e a fórmula da distância entre retas reversas, além da equação geral de um plano.

Passo 2

Obtemos a forma paramétrica de r e a direção de s. Para r, tomamos
\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}=t
logo
x=2t-1,\quad y=t,\quad z=-t,
e o vetor diretor de r é d_r=(2,1,-1).
Para s, como é interseção de planos cujos vetores normais são \,n_1=(1,1,-3) e n_2=(2,-1,-2), seu vetor diretor é
d_s=n_1\times n_2 =(1,1,-3)\times(2,-1,-2) =(5,4,3).

Passo 3

Verificamos que d_r\) e \(d_s\) não são colineares (não existe escalar \(\lambda\) tal que \((2,1,-1)=\lambda(5,4,3)\)), logo as retas não são paralelas. Para ver se se cruzam, substituímos \(x=2t-1\), \(y=t\), \(z=-t\) nas equações de \(s\): \[\begin{cases} (2t-1)+t-3(-t)-1=6t-2=0\implies t=\tfrac13,\\\\ 2(2t-1)-t-2(-t)=5t-2=0\implies t=\tfrac25. \end{cases}
Como os valores de (t] são diferentes, não há ponto comum: as retas são reversas.

Passo 4

A distância entre retas reversas é
\mathrm{dist}(r,s) =\frac{\bigl|(P_s-P_r)\cdot(d_r\times d_s)\bigr|}{\|\,d_r\times d_s\|}.
Tomamos P_r em t=0\Rightarrow(-1,0,0) e obtivemos um ponto de s escolhendo z=0 nas equações de s, que deu P_s=(\tfrac13,\tfrac23,0).
Calculamos
d_r\times d_s =(2,1,-1)\times(5,4,3)=(7,-11,3),
P_s-P_r=\Bigl(\tfrac13+1,\;\tfrac23-0,\;0-0\Bigr)=\Bigl(\tfrac43,\tfrac23,0\Bigr),
(P_s-P_r)\cdot(d_r\times d_s) =\tfrac43\cdot7+\tfrac23\cdot(-11)+0\cdot3 =\tfrac{28-22}{3}=\tfrac{6}{3}=2,
\|\,d_r\times d_s\|=\sqrt{7^2+(-11)^2+3^2}=\sqrt{179}.
Portanto
\mathrm{dist}(r,s)=\frac{2}{\sqrt{179}}.

Passo 5

O plano que contém r e é paralelo a s deve ter como direções d_r e d_s, logo seu vetor normal é
n=d_r\times d_s=(7,-11,3).
Usando o ponto P_r=(-1,0,0) na equação n\cdot\bigl((x,y,z)-P_r\bigr)=0, obtemos
7(x+1)-11(y-0)+3(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 7x-11y+3z+7=0.

Resposta

Distância de r a s: \displaystyle \frac{2}{\sqrt{179}}.
Plano que contém r e é paralelo a s:
7x-11y+3z+7=0.

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