Questão 4. (2 pontos) Estude a posição relativa entre r: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1} \mathrm{e} s:\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z-1=0 \\\\ 2 x-y-2 z=0\end{array}\right.. (1 ponto) Determine a distância de r a s. (1 ponto) Estabeleça o plano que contém r e é paralelo a s.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a posição relativa entre a reta
depois calcular a distância entre elas e, por fim, encontrar o plano que contém r e é paralelo a s. Vamos usar coordenadas paramétricas de r, produto vetorial para obter a direção de s e a fórmula da distância entre retas reversas, além da equação geral de um plano.
Passo 2
Obtemos a forma paramétrica de r e a direção de s. Para r, tomamos
\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}=t
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x=2t-1,\quad y=t,\quad z=-t,
e o vetor diretor de r é d_r=(2,1,-1).
Para s, como é interseção de planos cujos vetores normais são \,n_1=(1,1,-3) e n_2=(2,-1,-2), seu vetor diretor é
Verificamos que d_r\) e \(d_s\) não são colineares (não existe escalar \(\lambda\) tal que \((2,1,-1)=\lambda(5,4,3)\)), logo as retas não são paralelas. Para ver se se cruzam, substituímos \(x=2t-1\), \(y=t\), \(z=-t\) nas equações de \(s\):
\[\begin{cases} (2t-1)+t-3(-t)-1=6t-2=0\implies t=\tfrac13,\\\\ 2(2t-1)-t-2(-t)=5t-2=0\implies t=\tfrac25. \end{cases}
Como os valores de (t] são diferentes, não há ponto comum: as retas são reversas.