Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 6 & 1 \\\\ -2 & -6 & 1 & -2 \\\\ 1 & 5 & 3 & k \end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -3
(B) -2
(C) -1
(D) 0
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear e pede o valor de k que torne o sistema compatível (ou seja, que exista solução). Para isso, usaremos eliminação de Gauss e exigiremos que não ocorra linha-contradição, garantindo \rank(A)=\rank(A\mid b).

Passo 2

Usamos a primeira linha como pivô e zeramos as entradas abaixo na coluna 1:
R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1},\quad R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{1},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1}.
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -4 & 2 & -1\\\\ 0 & -4 & 5 & 0\\\\ 0 & 4 & 1 & k-1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Dividimos a segunda linha por -4, R_{2}\leftarrow R_{2}/(-4), e em seguida zeramos as colunas 2 de R_{3} e R_{4} com
R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{2},\quad R_{4}\leftarrow R_{4}-4R_{2}.
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -\tfrac12 & \tfrac14\\\\ 0 & 0 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & k-2 \end{pmatrix}.

Passo 4

As duas últimas linhas levam aos sistemas
3z = 1
e
3z = k-2.
Para o sistema ser compatível, as duas equações devem coincidir, ou seja,
1 = k - 2 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.

Resposta

k = 3 (alternativa G)

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