Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x+3 y-5 z=5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} sĩo parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{19}{5}\right)+t(-8,0,-6)+s(0,18,6)
(B) \left(-1,1,-\frac{19}{5}\right)+t(-10,0,-4)+s(0,20,12)
(C) \left(1,-1,-\frac{6}{5}\right)+t(-12,0,-2)+s(0,16,8)
(D) \left(-1,1,-\frac{4}{5}\right)+t(-12,0,-2)+s(0,16,8)
(E) \left(-1,1,-\frac{4}{5}\right)+t(-8,0,-6)+s(0,18,6)
(F) \left(1,-1,-\frac{6}{5}\right)+t(-10,0,-4)+s(0,20,12)

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do plano
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 2x+3y-5z=5\}
usando dois parâmetros s,t. Para cada opção dada, vamos verificar (1) se o ponto inicial \mathbf r_0 satisfaz a equação do plano e (2) se os vetores direção \mathbf v e \mathbf w pertencem ao plano (isto é, satisfazem 2v_x+3v_y-5v_z=0 e 2w_x+3w_y-5w_z=0).

Passo 2

Verificação dos pontos iniciais \mathbf r_0=(x_0,y_0,z_0):
As opções (A) e (B) usam \mathbf r_0=(-1,1,-\tfrac{19}{5}). Substituindo na equação do plano,
2(-1)+3(1)-5\Bigl(-\tfrac{19}{5}\Bigr) =-2+3+19 =20\neq5,
logo (A) e (B) são inválidas.
As opções (C) e (F) usam \mathbf r_0=(1,-1,-\tfrac{6}{5}). Substituindo,
2(1)+3(-1)-5\Bigl(-\tfrac{6}{5}\Bigr) =2-3+6 =5,
portanto esse \mathbf r_0 está no plano.
As opções (D) e (E) usam \mathbf r_0=(-1,1,-\tfrac{4}{5}). Substituindo,
2(-1)+3(1)-5\Bigl(-\tfrac{4}{5}\Bigr) =-2+3+4 =5,
então esse também está no plano.
Até aqui continuam possíveis as opções (C), (D), (E) e (F).

Passo 3

Verificação dos vetores direção nas candidatas restantes:
Opção (C): \mathbf v=(-12,0,-2),
2(-12)+3\cdot0-5(-2)=-24+10=-14\neq0,
logo \mathbf v\notin plano ⇒ (C) excluída.
Opção (D): mesma \mathbf v=(-12,0,-2) ⇒ também excluída.
Opção (E): \mathbf v=(-8,0,-6),
2(-8)+3\cdot0-5(-6)=-16+30=14\neq0,
excluída.
Opção (F): \mathbf v=(-10,0,-4),
2(-10)+3\cdot0-5(-4)=-20+20=0, \mathbf w=(0,20,12),
2\cdot0+3(20)-5(12)=60-60=0.
Ambos estão no plano, portanto (F) é a única válida.

Resposta

(F) \displaystyle (1,-1,-\tfrac{6}{5})+t\,(-10,0,-4)+s\,(0,20,12)

Exercícios relacionados