Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada: \left[\begin{array}{rrr|r}1 & -2 & -2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 2 \\\\ -2 & 7 & 4 & 1 \\\\ -1 & -1 & 4 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -13
(B) -12
(C) -11
(D) -10
(E) -9
(F) -8
(G) -7
(H) -6
Passo 1
O enunciado dá a matriz aumentada do sistema linear
e pede o valor de k para que o sistema seja consistente. O conteúdo aqui é resolução de sistema sobredeterminado e condição de consistência via igualdade da 4ª equação ao valor obtido pelas três primeiras.
Passo 2
Da segunda equação
x + y = 2
temos
x = 2 - y.
Substituímos esse x nas equações (1) e (3).
Passo 3
Na equação (1):
(2 - y) - 2y - 2z = 1
leva a
3y + 2z = 1.
Na equação (3):
-2(2 - y) + 7y + 4z = 1
leva a
9y + 4z = 5.
Duplicando 3y+2z=1 obtemos 6y+4z=2. Subtraindo dessa última a equação 9y+4z=5 dá
3y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 1,
e então
3\cdot1 + 2z = 1 \quad\Longrightarrow\quad z = -1.
Passo 4
Com y=1, z=-1 e x=2-y=1, a quarta equação
-\,x \;-\; y \;+\; 4z \;=\; k
fica
-1 - 1 + 4(-1) = k \quad\Longrightarrow\quad k = -6.