Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}12 x+24 y+6 z=21, \\\\ -5 x-25 z=-30 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-24 x-6 y-21 z=-12, \\\\ 40 x+10 y+35 z=20 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}4 x+8 y+2 z=7, \\\\ 12 x+24 y+6 z=21, \\\\ 5 y+3 z=1 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-20 x-40 y-10 z=-35, \\\\ 3 x+15 z=18 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}-20 y-12 z=-4, \\\\ 20 y+12 z=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}8 x+2 y+7 z=4, \\\ x+5 z=6, \\\\ -3 x-15 z=-18 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}9 x+15 y+21 z=24, \\\\ -40 x-20 y=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-12 x-24 y-6 z=-21, \\\\ 20 x+40 y+10 z=35 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{aligned} 4 x+8 y+2 z & =7, \\\\ 5 y+3 z & =1, \\\ z & =6 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-12 x-24 y-6 z=-21, \\\\ 5 x+25 z=30 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}3 x+5 y+7 z=8, \\\\ 8 x+4 y=3, \\\\ -40 x-20 y=-15 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 12 x+24 y+6 z=21 \\\\ -25 y-15 z=-5 \\\ z=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta seis alternativas (A) a (F), cada uma com dois sistemas lineares em (x,y,z). Queremos a opção cujo conjunto-solução de cada um dos dois sistemas seja uma reta em \mathbb{R}^3. Em geral, para um sistema linear com n=3 incógnitas e posto r de sua matriz de coeficientes, se ele for consistente então sua dimensão é
\dim = 3 - r.
Logo, para obter reta precisamos de r=2 e consistência em ambos os sistemas.

Passo 2

Nos dois casos de cada alternativa contamos o número de equações e calculamos o posto dos vetores normais (linhas da matriz de coeficientes).
  • Se dois planos têm vetores normais independentes r=2, eles se intersectam numa reta.
  • Se um conjunto de 3 equações em \mathbb{R}^3 tem posto 2 e é consistente, sobra uma variável livre, também reta.

Passo 3

Alternativa (A)
Sistema 1:
\begin{cases} 12x+24y+6z=21,\\\\ -5x-25z=-30. \end{cases}
Os vetores normais (12,24,6)\) e \((-5,0,-25)\) não são múltiplos, logo \(r=2\); duas faces não paralelas formam reta. Sistema 2: \[\begin{cases} -24x-6y-21z=-12,\\\\ 40x+10y+35z=20. \end{cases}
Aqui (40,10,35)=(-5/3)\cdot(-24,-6,-21)\] e \((20)=(-5/3)\cdot(-12), ou seja, as equações coincidem e r=1, dando um plano \dim=2.
Logo (A) falha.

Passo 4

Alternativa (B)
Sistema 1:
\begin{cases} 4x+8y+2z=7,\\\\ 12x+24y+6z=21,\\\\ 5y+3z=1. \end{cases}
As duas primeiras são múltiplas entre si, restam duas equações independentes (p. ex. (4,8,2)\) e \((0,5,3)\)), \(r=2\). Substituindo mostra-se consistente, logo reta \(\dim=1\). Sistema 2: \[\begin{cases} -20x-40y-10z=-35,\\\\ 3x+15z=18. \end{cases}
Os planos têm normais (-20,-40,-10)\] e \((3,0,15) independentes, r=2, e não são paralelos, logo também reta.
Portanto em (B) ambos os sistemas têm posto 2 e são consistentes ⇒ retas.

Passo 5

Nas alternativas (C), (D), (E) e (F) sempre um dos dois sistemas não atinge r=2:
  • Em (C) o primeiro sistema tem r=1.
  • Em (D) o segundo sistema tem r=1.
  • Em (E) o primeiro sistema tem r=3 (solução única).
  • Em (F) o segundo sistema tem r=3.
    Logo nenhuma dessas alternativas produz duas retas ao mesmo tempo.

Resposta

(B)

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