Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} : \left[\begin{array}{r}8 \\\\ -21 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e} \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -20 \\\\ -3 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano está descrito como um ponto-base mais o span de dois vetores. Precisamos achar o ponto comum aos dois planos, ou seja, resolver
onde \mathbf{p}_1=(8,-21,-1,0)^T, \mathbf{v}_1=(3,-3,0,-2)^T, \mathbf{v}_2=(-1,2,-3,2)^T, \mathbf{q}_1=(1,-20,-3,8)^T, \mathbf{w}_1=(3,2,3,-2)^T, \mathbf{w}_2=(2,-3,1,2)^T.
Isso gera um sistema de quatro equações lineares em u,v,s,t.
fazemos, por exemplo, combinação linear: multiplica-se a primeira por 23 e a segunda por 15 e subtrai-se, obtendo 106v=0, logo v=0.
Substituindo em 17v+15s=15 resulta 15s=15, logo s=1.
Voltam-se às fórmulas de t e u:
t = 2 -3\cdot0 -3\cdot1 = -1, \quad u = 4\cdot0 +4\cdot1 -6 = -2.
Passo 5
O ponto de intersecção na forma do primeiro plano é