Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}8 \\\\ -21 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -20 \\\\ -3 \\\\ 8\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano está descrito como um ponto-base mais o span de dois vetores. Precisamos achar o ponto comum aos dois planos, ou seja, resolver
\mathbf{p}_1 + u\,\mathbf{v}_1 + v\,\mathbf{v}_2 \;=\; \mathbf{q}_1 + s\,\mathbf{w}_1 + t\,\mathbf{w}_2
onde \mathbf{p}_1=(8,-21,-1,0)^T, \mathbf{v}_1=(3,-3,0,-2)^T, \mathbf{v}_2=(-1,2,-3,2)^T, \mathbf{q}_1=(1,-20,-3,8)^T, \mathbf{w}_1=(3,2,3,-2)^T, \mathbf{w}_2=(2,-3,1,2)^T.
Isso gera um sistema de quatro equações lineares em u,v,s,t.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 8 + 3u - v &= 1 + 3s + 2t,\\\\ -21 -3u +2v &= -20 +2s -3t,\\\\ -1 -3v &= -3 +3s + t,\\\\ 0 -2u +2v &= 8 -2s +2t. \end{cases}
Reorganizando cada linha para igualar a zero, obtemos
\begin{aligned} 3u - v -3s -2t &= -7,\\\\ -3u +2v -2s +3t &= 1,\\\\ 3v +3s + t &= 2,\\\\ -u + v + s - t &= 4. \end{aligned}

Passo 3

Da terceira equação tiramos
t = 2 - 3v - 3s,
e da quarta
u = 4v + 4s - 6.
Agora substituímos u e t nas duas primeiras equações, reduzindo o sistema a duas equações em v,s:
substituindo em 3u - v -3s -2t=-7 e em -3u +2v -2s +3t=1
\begin{cases} 17v +15s = 15,\\\\ 19v +23s = 23. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo
\begin{aligned} 17v +15s &= 15,\\\\ 19v +23s &= 23, \end{aligned}
fazemos, por exemplo, combinação linear: multiplica-se a primeira por 23 e a segunda por 15 e subtrai-se, obtendo 106v=0, logo v=0.
Substituindo em 17v+15s=15 resulta 15s=15, logo s=1.
Voltam-se às fórmulas de t e u:
t = 2 -3\cdot0 -3\cdot1 = -1, \quad u = 4\cdot0 +4\cdot1 -6 = -2.

Passo 5

O ponto de intersecção na forma do primeiro plano é
\mathbf{x} = \mathbf{p}_1 + u\,\mathbf{v}_1 + v\,\mathbf{v}_2 = (8,-21,-1,0) + (-2)(3,-3,0,-2) + 0\cdot(\dots) = (8-6,\,-21+6,\,-1+0,\;0+4) = (2,\,-15,\,-1,\,4).

Resposta

Alternativa (A) 2

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