Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado. Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 7.3
(B) 8.3
(C) 9.3
(D) 10.3
(E) 11.3
(F) 12.3
(G) 13.3
(H) 14.3
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
(A) 7.3
(B) 8.3
(C) 9.3
(D) 10.3
(E) 11.3
(F) 12.3
(G) 13.3
(H) 14.3
Passo 1
Temos três pontos
,
e
que devem satisfazer a equação geral do círculo
onde
,
e
. Vamos usar cada ponto para obter três equações, eliminar
por subtração e achar
e
. Depois determinamos o centro
e o raio
.
Passo 2
Para cada ponto
vale
Subtraindo a equação em
das de
e
eliminamos
e obtemos
Passo 3
Resolvendo
da primeira
. Substituindo na segunda:
Passo 4
O centro é
Para
usamos um ponto, por exemplo
:
Passo 5
O raio satisfaz
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Resposta
(E) 11,3