Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-2,-5),(2,-4) e (5,-2). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado. Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 7.3
(B) 8.3
(C) 9.3
(D) 10.3
(E) 11.3
(F) 12.3
(G) 13.3
(H) 14.3

Passo 1

Temos três pontos (-2,-5), (2,-4) e (5,-2) que devem satisfazer a equação geral do círculo
x^{2}+a\,x+y^{2}+b\,y=c
onde a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}. Vamos usar cada ponto para obter três equações, eliminar c por subtração e achar a e b. Depois determinamos o centro \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) e o raio r.

Passo 2

Para cada ponto (x_{i},y_{i}) vale
x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+a\,x_{i}+b\,y_{i}=c.
Subtraindo a equação em (-2,-5) das de (2,-4) e (5,-2) eliminamos c e obtemos
4a + b = 9
7a + 3b = 0

Passo 3

Resolvendo
4a + b = 9,
7a + 3b = 0,
da primeira b = 9 - 4a. Substituindo na segunda:
7a + 3(9 - 4a) = 0
-5a + 27 = 0
a = \frac{27}{5} = 5,4, \quad b = 9 - 4\cdot 5,4 = -12,6.

Passo 4

O centro é
x_{0} = -\frac{a}{2} = -2,7, \quad y_{0} = -\frac{b}{2} = 6,3.
Para c usamos um ponto, por exemplo (-2,-5):
c = (-2)^{2}+(-5)^{2}+5,4\cdot(-2)-12,6\cdot(-5) = 29 -10,8 +63 = 81,2.

Passo 5

O raio satisfaz
r^{2} = c + x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 81,2 + (2,7)^{2} + (6,3)^{2} = 81,2 + 7,29 + 39,69 = 128,18.
Logo
r = \sqrt{128,18} \approx 11,33.

Resposta

(E) 11,3

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