Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 7 x+3 y-2 z=-5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1, \frac{9}{2}\right)+t(8,0,28)+s(0,-8,-12)
(B) \left(-1,1,-\frac{3}{2}\right)+t(11,0,25)+s(0,6,4)
(C) \left(-1,1, \frac{1}{2}\right)+t(11,0,25)+s(0,6,4)
(D) \left(-1,1,-\frac{3}{2}\right)+t(8,0,28)+s(0,-8,-12)
(E) \left(1,-1, \frac{9}{2}\right)+t(7,0,29)+s(0,2,8)
(F) \left(-1,1, \frac{1}{2}\right)+t(7,0,29)+s(0,2,8)

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano dado pela equação
7x + 3y - 2z = -5
ou seja, encontrar um ponto (x_0,y_0,z_0) que satisfaça essa equação e dois vetores diretores \vec v_1,\vec v_2 tais que eles sejam ortogonais ao vetor normal \vec n=(7,3,-2).

Passo 2

Para que
(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + s\,\vec v_1 + t\,\vec v_2
descreva o plano, é preciso que:
  1. O ponto satisfaça
7x_0 + 3y_0 - 2z_0 = -5.
  1. Cada vetor diretor seja ortogonal a \vec n, ou seja,
\vec n \cdot \vec v_1 = 0 \quad\text{e}\quad \vec n \cdot \vec v_2 = 0.

Passo 3

Testando a opção (A):
  • Ponto inicial (1,-1,\tfrac92):
7\cdot1 + 3\cdot(-1) - 2\cdot\frac92 = 7 - 3 - 9 = -5,
então está ok.
  • Vetor \vec v_1=(8,0,28):
\vec n\cdot\vec v_1 = 7\cdot8 + 3\cdot0 - 2\cdot28 = 56 - 56 = 0.
  • Vetor \vec v_2=(0,-8,-12):
\vec n\cdot\vec v_2 = 7\cdot0 + 3\cdot(-8) - 2\cdot(-12) = -24 + 24 = 0.
Portanto a opção (A) satisfaz ambas as condições.

Passo 4

As demais opções falham:
  • (B) e (D): o ponto (-1,1,-\tfrac32)
7(-1)+3(1)-2\Bigl(-\tfrac32\Bigr)=-1\neq-5.
  • (C): o ponto (-1,1,\tfrac12) está bem, mas
\vec n\cdot(11,0,25) = 7\cdot11 -2\cdot25 = 77-50 = 27\neq0.
  • (E) e (F): usam a direção (7,0,29) com
\vec n\cdot(7,0,29) = 49 - 58 = -9\neq0.
Logo, somente a alternativa (A) é válida.

Resposta

(A) \bigl(1,-1,\tfrac{9}{2}\bigr) + t\,(8,0,28) + s\,(0,-8,-12)

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