Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \quad\left\{\begin{aligned} 4 x+y+3 z & =5, \\\\ 8 x+9 y & =2, \\\ y & =7 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-20 x-5 y-15 z & =-25, \\\\ -24 y-6 z & =-21 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-32 x-20 y-36 z=-16, \\\\ 12 x+16 z=36 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-20 x-5 y-15 z & =-25, \\\\ -12 x-3 y-9 z & =-15 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}24 x+27 y=6, \\\\ 40 x+45 y=10 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}x+5 y+4 z=3, \\\\ 8 y+2 z=7, \\\\ -40 y-10 z=-35 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}8 x+5 y+9 z=4, \\\\ 3 x+4 z=9, \\\\ 12 x+16 z=36 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-16 x-4 y-12 z=-20, \\\\ 32 x+36 y=8, \\\ y=7 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}-16 x-4 y-12 z=-20, \\\\ 32 y+8 z=28 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-5 x-25 y-20 z=-15, \\\\ -3 x-15 y-12 z=-9 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}4 x+y+3 z=5, \\\\ -16 x-4 y-12 z=-20, \\\\ 8 x+9 y=2 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}16 x+4 y+12 z=20, \\\\ -32 y-8 z=-28 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para identificar, entre as opções (A)–(F), aquela em que cada um dos dois sistemas lineares em (x,y,z) tem conjunto-solução de dimensão 1 em \mathbb{R}^3, isto é, cada sistema deve ter um “grau de liberdade” igual a 1, correspondendo a uma reta.
Passo 2
Em geral, para um sistema linear em n=3 variáveis, a dimensão do espaço de soluções é
\dim(\text{solução}) = n - \rank(A),
onde A é a matriz de coeficientes. Logo, para obter dimensão 1, precisamos de
\rank(A)=2
e de o sistema ser consistente (o que ocorre sempre que as equações independentes não forem contraditórias).
Da terceira equação vem y=7. Substituindo na segunda obtemos 8x+9\cdot7=2\Rightarrow x=-61/8, e então na primeira surge z=19/2. Há solução única, logo \rank(A)=3 e \dim=0. Portanto (A) está fora.
As duas equações são linearmente independentes (n_1\) e \(n_2\) não são múltiplos), daí \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema B2:
\[\begin{cases} -20x-5y-15z=-25,\\\\ -12x-3y-9z=-15. \end{cases}
A segunda é 3/5\] da primeira, dando \(\rank=1 e \dim=2. Logo (B) sai.
A terceira é 4\) vezes a segunda, sobrando duas equações independentes, \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema D2:
\[\begin{cases} -16x-4y-12z=-20,\\\\ 32x+36y=8,\\\ y=7. \end{cases}
Da última vem y=7\], da segunda \(x fica fixo, e da primeira determina-se z. Solução única, \rank=3 e \dim=0. Então (D) não serve.
Normais (\\ -16,-4,-12)\) e \((0,32,8)\) são independentes, logo \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema E2:
\[\begin{cases} -5x-25y-20z=-15,\\\\ -3x-15y-12z=-9. \end{cases}
A segunda é \tfrac{3}{5}\] da primeira, dando \(\rank=1 e \dim=2. Assim (E) não vale.
A segunda é -4\) vezes a primeira, restando duas equações independentes, logo \(\rank=2\) e \(\dim=1\).
Sistema F2:
\[\begin{cases} 16x+4y+12z=20,\\\\ -32y-8z=-28. \end{cases}
Os vetores normais (16,4,12)\] e \((0,-32,-8) não são múltiplos, de modo que \rank=2 e \dim=1.