Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x+2 y-3 z=5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(-1,1,-\frac{1}{3}\right)+t(-12,0,9)+s(0,9,1)
(B) (1,-1,0)+t(-9,0,6)+s(0,9,6)
(C) (1,-1,-3)+t(-9,0,6)+s(0,9,6)
(D) (1,-1,0)+t(-12,0,9)+s(0,9,1)
(E) \left(-1,1,-\frac{1}{3}\right)+t(-10,0,7)+s(0,4,6)
(F) (1,-1,-3)+t(-10,0,7)+s(0,4,6)

Passo 1

O enunciado pede uma forma paramétrica do plano
-2x+2y-3z=5
ou seja, quero um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) que satisfaça essa equação e dois vetores diretores \mathbf v e \mathbf w no plano (isto é, ortogonais ao vetor normal \mathbf n=(-2,2,-3)).

Passo 2

Para checar uma opção qualquer, primeiro verifico se o ponto dado pertence ao plano. Se P_0=(x_0,y_0,z_0), preciso ter
-2x_0+2y_0-3z_0=5.

Passo 3

Em seguida, para cada vetor diretor \mathbf v=(v_1,v_2,v_3) e \mathbf w=(w_1,w_2,w_3) apresentados, verifico se
\mathbf n\cdot \mathbf v = (-2,2,-3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=-2v_1+2v_2-3v_3=0
e
\mathbf n\cdot \mathbf w = -2w_1+2w_2-3w_3=0.

Passo 4

Analisando cada opção, só a letra (C) tem ponto
(1,-1,-3)
que satisfaz
-2\cdot1+2\cdot(-1)-3\cdot(-3)=-2-2+9=5
e vetores
\mathbf v=(-9,0,6), \mathbf w=(0,9,6) tais que
(-2,2,-3)\cdot(-9,0,6)=18-18=0,
(-2,2,-3)\cdot(0,9,6)=18-18=0,
além de serem linearmente independentes.

Resposta

(C) (1,-1,-3)+t(-9,0,6)+s(0,9,6)

Exercícios relacionados