Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 1 & -1 & -1 \\\\ 2 & 5 & -3 & -4 \\\\ -1 & -4 & -1 & 4 \\\\ 2 & 8 & -10 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações em três incógnitas representado pela matriz aumentada
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & -1\\\\ 2 & 5 & -3 & \vline & -4\\\\ -1 & -4 & -1 & \vline & 4\\\\ 2 & 8 & -10 & \vline & k \end{pmatrix}
e pede o valor de k para que o sistema seja compatível (tenha solução). A ideia é usar eliminação de Gauss até surgir uma condição sobre k na última equação.

Passo 2

Eliminamos x (primeira coluna) das equações 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô:
- Linha 2 \leftarrow Linha 2 -2\times Linha 1
(2,5,-3\mid -4) -2\,(1,1,-1\mid -1)\;=\;(0,3,-1\mid -2).
- Linha 3 \leftarrow Linha 3 +1\times Linha 1
(-1,-4,-1\mid 4) + (1,1,-1\mid -1)\;=\;(0,-3,-2\mid 3).
- Linha 4 \leftarrow Linha 4 -2\times Linha 1
(2,8,-10\mid k) -2\,(1,1,-1\mid -1)\;=\;(0,6,-8\mid k+2).
Agora a matriz está
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & -1\\\\ 0 & 3 & -1 & \vline & -2\\\\ 0 & -3 & -2 & \vline & 3\\\\ 0 & 6 & -8 & \vline & k+2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o pivô da segunda linha para eliminar a segunda coluna em baixo:
- Linha 3 \leftarrow Linha 3 + Linha 2
(0,-3,-2\mid 3)+(0,3,-1\mid -2)\;=\;(0,0,-3\mid 1).
- Linha 4 \leftarrow Linha 4 -2\times Linha 2
(0,6,-8\mid k+2)-2\,(0,3,-1\mid -2)\;=\;(0,0,-6\mid k+2+4)=(0,0,-6\mid k+6).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & -1\\\\ 0 & 3 & -1 & \vline & -2\\\\ 0 & 0 & -3 & \vline & 1\\\\ 0 & 0 & -6 & \vline & k+6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora eliminamos a terceira coluna na quarta linha usando o pivô da terceira:
- Linha 4 \leftarrow Linha 4 -2\times Linha 3
(0,0,-6\mid k+6)-2\,(0,0,-3\mid 1)\;=\;(0,0,0\mid k+6-2)=(0,0,0\mid k+4).
A última equação resultante é
0x+0y+0z = k+4.

Passo 5

Para que o sistema seja compatível, essa equação deve ser 0=0, ou seja
k+4=0 \quad\Longrightarrow\quad k=-4.

Resposta

(B) -4

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