Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{13}\right) \in \mathbb{R}^{13} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{4} & =x_{3} \\\ x_{5} & =x_{9} \\\ x_{4}-x_{5} & =x_{3}-x_{9} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 2
(B) 12
(C) 13
(D) 9
(E) 10
(F) 3
(G) 4
(H) 11

Passo 1

O enunciado define o subespaço S\subset\mathbb{R}^{13}\) pelos vetores \(\bigl(x_{1},\dots,x_{13}\bigr)\) que satisfazem as três condições lineares \[\begin{cases} x_{4}=x_{3},\\\ x_{5}=x_{9},\\\ x_{4}-x_{5}=x_{3}-x_{9}. \end{cases}
O conteúdo é cálculo de dimensão de subespaço definido por equações lineares, usando o fato de que (\dim S=13-(número de equações independentes)].

Passo 2

Escrevemos as duas primeiras equações explicitamente como restrições lineares:
x_{4}-x_{3}=0, \quad x_{5}-x_{9}=0.

Passo 3

Analisamos a terceira equação
x_{4}-x_{5}=x_{3}-x_{9}.
Substituindo x_{4}=x_{3} e x_{5}=x_{9} obtidos das primeiras duas, vemos que fica
x_{3}-x_{9}=x_{3}-x_{9},
ou seja, é uma identidade e não impõe nova restrição.

Passo 4

Concluímos que há exatamente duas equações lineares independentes. Logo o posto do sistema é 2.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão de núcleo, o espaço de soluções tem dimensão
\dim S = 13 - 2 = 11.

Resposta

11

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