Q3: Sabendo que o ponto ( 9,2,10, k ) pertence ao plano (2,3,1,-3)+\operatorname{span}\{(-1,-3,-3,3),(3,-2,3,2)\}, assinale o valor de k :
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado nos dá um plano em \mathbb{R}^4 escrito na forma
(2,3,1,-3)+\operatorname{span}\{(-1,-3,-3,3),(3,-2,3,2)\}
e pede o valor de k para que o ponto (9,2,10,k) pertença a esse plano. O conteúdo aqui é representação paramétrica de subespaços vetoriais: basta escrever
(9,2,10,k)=(2,3,1,-3)+s\,(-1,-3,-3,3)+t\,(3,-2,3,2)
e resolver para s,t e k.

Passo 2

Equacionando componente a componente, obtemos
2 - s + 3t = 9,
3 - 3s - 2t = 2,
1 - 3s + 3t = 10,
-3 + 3s + 2t = k.

Passo 3

Das duas primeiras equações:
-\,s + 3t = 7 \quad\Longrightarrow\quad s = 3t - 7,
-3s -2t = -1.
Substituindo s=3t-7 na segunda,
-3(3t-7)-2t = -1 \quad\Longrightarrow\quad -9t+21-2t=-1 \quad\Longrightarrow\quad -11t=-22 \quad\Longrightarrow\quad t=2,
logo s=3\cdot2-7=-1.

Passo 4

Verificamos que a terceira equação fica consistente:
1-3(-1)+3\cdot2=1+3+6=10.
Agora calculamos k pela quarta:
k = -3 + 3s + 2t = -3 + 3(-1) + 2\cdot2 = -3 -3 +4 = -2.

Resposta

(C) -2

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