Q2:Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-40 x-35 y-5 z=-25, \\\\ 20 x+8 z=32 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-8 x-12 y-20 z & =-28, \\\\ -6 x-9 y-15 z & =-21 .\end{aligned}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}2 x+3 y+5 z=7, \\\\ -10 x-15 y-25 z=-35, \\\\ 8 y+z=4 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}8 x+12 y+20 z=28, \\\\ -20 x-5 y=-30 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}8 x+7 y+z=5, \\\\ 5 x+2 z=8, \\\\ 20 x+8 z=32 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-10 x-15 y-25 z=-35, \\\\ 32 y+4 z=16, \\\ y=6 .\end{array}\right.
(D) \quad\left\{\begin{aligned} 24 y+3 z & =12, \\\\ 40 y+5 z & =20 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}5 x+7 y+3 z=2, \\\\ 4 x+y=6, \\\\ -16 x-4 y=-24 .\end{array}\right.
(E) \quad\left\{\begin{aligned} 2 x+3 y+5 z & =7, \\\\ 8 y+z & =4, \\\ y & =6 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned}-8 x-12 y-20 z & =-28, \\\\ -12 x-3 y & =-18 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}-10 x-15 y-25 z=-35 \text {, } \\\\ 16 x+4 y=24 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-20 x-28 y-12 z & =-8, \\\\ -15 x-21 y-9 z & =-6 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede a letra em que, para cada opção, os dois sistemas lineares em (x,y,z) têm soluções de dimensão 1 em \mathbb{R}^3, ou seja, cada sistema deve ter posto igual a 2 e ser compatível (dimensão do espaço de soluções =3-2=1).

Passo 2

Para um sistema linear em três variáveis ter solução de dimensão 1, ele precisa ter exatamente duas equações linearmente independentes (posto 2) e não ser contraditório. Se o posto for 1, a dimensão da solução é 2; se for 3, a dimensão é 0.

Passo 3

Opção (A):
Sistema 1 tem duas equações independentes (posto 2) → solução dimensão 1.
Sistema 2:
-8x-12y-20z=-28, \quad -6x-9y-15z=-21
são múltiplas (segunda × 4/3 = primeira), posto 1\to solução dimensão 2.
Logo (A) falha.

Passo 4

Opção (B):
Sistema 1
2x+3y+5z=7, \quad -10x-15y-25z=-35, \quad 8y+z=4
a segunda é -5 vezes a primeira, restam duas equações independentes → posto 2\to dimensão 1.
Sistema 2
8x+12y+20z=28, \quad -20x-5y=-30
duas equações não proporcionais, posto 2\to dimensão 1, e é compatível (ex.: x=1,y=2,z=-\tfrac15 é solução).
Logo em (B) ambos têm reta de soluções.

Passo 5

Sem perder tempo, nas opções (C)–(F) sempre um dos sistemas apresenta posto 1 (dimensão 2) ou posto 3 (solução única), portanto não produzem duas retas simultaneamente.

Resposta

(B)

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