Q5: Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 2 & -2 & -2 \\\\ 2 & 1 & -3 & -3 \\\\ 2 & 1 & -1 & -2 \\\\ 1 & -4 & 4 & k\end{array}\right]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear de quatro equações e três incógnitas, representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -2\\\\ 2 & 1 & -3 & -3\\\\ 2 & 1 & -1 & -2\\\\ 1 & -4 & 4 & k \end{array}\right].
O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares: vamos usar eliminação de Gauss para ver em que valor de k o sistema é consistente (isto é, não gera contradição).

Passo 2

Aplicamos as operações elementares:
R2 \leftarrow R2 - 2⋅R1,
R3 \leftarrow R3 - 2⋅R1,
R4 \leftarrow R4 - R1.
Isso produz
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -2\\\\ 0 & -3 & 1 & 1\\\\ 0 & -3 & 3 & 2\\\\ 0 & -6 & 6 & k+2 \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos R2 para zerar a coluna 2 em R3 e R4:
R3 \leftarrow R3 - R2,
R4 \leftarrow R4 - 2⋅R2.
O resultado é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & -2 & -2\\\\ 0 & -3 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 4 & k \end{array}\right].

Passo 4

As duas últimas linhas dão:
R3: 2x_3 = 1 x_3 = \tfrac12.
R4: 4x_3 = k 4\cdot\tfrac12 = k k = 2.
Só assim não há contradição e o sistema é compatível.

Resposta

(G) 2

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