Q1: Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-2 y+7 z=-5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1,-\frac{10}{7}\right)+t(-21,0,9)+s(0,-14,-4)
(B) \left(1,-1,-\frac{10}{7}\right)+t(-22,0,10)+s(0,-26,-10)
(C) \left(1,-1,-\frac{17}{7}\right)+t(-21,0,9)+s(0,-14,-4)
(D) \left(1,-1,-\frac{17}{7}\right)+t(-20,0,8)+s(0,-25,-11)
(E) (-1,1,0)+t(-20,0,8)+s(0,-25,-11)
(F) (-1,1,0)+t(-22,0,10)+s(0,-26,-10)

Passo 1

O enunciado pede uma equação paramétrica do plano
3x - 2y + 7z = -5
Precisamos encontrar um ponto p_0 que satisfaça essa equação e dois vetores diretores v e w tais que sejam perpendiculares ao vetor normal n=(3,-2,7).

Passo 2

Uma forma geral de escrever o plano é
r(s,t) = p_0 + s\,v + t\,w,
onde a condição de pertencimento ao plano implica
n\cdot v = 0 \quad\text{e}\quad n\cdot w = 0.

Passo 3

Testamos as direções de cada opção calculando n\cdot v e n\cdot w.
Para a opção (A): v = (-21,0,9) e w = (0,-14,-4).
n\cdot v = 3(-21)-2\cdot0+7\cdot9 = -63+0+63 = 0,
n\cdot w = 3\cdot0-2(-14)+7(-4) = 0+28-28 = 0.
Logo, ambas as direções estão no plano. Nas outras opções (B)–(F) pelo menos um dos produtos escalares não zera, exceto em (C), mas aí o ponto base falha.

Passo 4

Verificamos se o ponto base de (A), p_0=(1,-1,-\tfrac{10}{7}), satisfaz a equação do plano:
3\cdot1 -2\cdot(-1) +7\cdot\bigl(-\tfrac{10}{7}\bigr) =3+2 -10 = -5.
Portanto p_0 pertence ao plano. Na opção (C) o ponto \bigl(1,-1,-\tfrac{17}{7}\bigr) leva a 3+2-17=-12\neq-5, descartando-a.

Resposta

(A)

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