Q15: Seja p(x)=1-4 x-12 x^{2} e \beta=\left\{-1-3 x-3 x^{2}, \quad-2-8 x-12 x^{2}, \quad 2+5 x+5 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinómios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) 4
(B) 3
(C) -3
(D) -2
(E) 2
(F) -1
(G) -4
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinómio
p(x)=1-4x-12x^{2}
e a base
\beta=\bigl\{-1-3x-3x^{2},\;-2-8x-12x^{2},\;2+5x+5x^{2}\bigr\}
do espaço dos polinómios de grau até 2. Queremos encontrar as coordenadas [p]_{\beta}=(a,b,c), isto é, os escalares a,b,c tais que
a(-1-3x-3x^{2})+b(-2-8x-12x^{2})+c(2+5x+5x^{2})=1-4x-12x^{2}.
Nosso objetivo final é determinar c.

Passo 2

Escrevendo o sistema de equações termo a termo (constante, x e x^{2}) obtemos
\begin{cases} -a -2b +2c = 1,\\\\ -3a -8b +5c = -4,\\\\ -3a -12b +5c = -12. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da terceira para eliminar a e c, temos
(-3a-12b+5c)-(-3a-8b+5c)=-12-(-4) \;\Longrightarrow\;-4b=-8 \;\Longrightarrow\;b=2.

Passo 4

Substituindo b=2 na primeira equação,
-a -2\cdot2 +2c =1 \;\Longrightarrow\;-a -4 +2c=1 \;\Longrightarrow\;-a+2c=5 \;\Longrightarrow\;a=2c-5.

Passo 5

Agora, substituímos a=2c-5 e b=2 na segunda equação:
-3(2c-5)-8\cdot2+5c=-4 \;\Longrightarrow\;-6c+15-16+5c=-4 \;\Longrightarrow\;-c-1=-4 \;\Longrightarrow\;-c=-3 \;\Longrightarrow\;c=3.

Resposta

3

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