Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}12 x+32 y+8 z=16, \\\\ -16 x-28 z=-12 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-21 x-15 y-12 z=-24, \\\\ 21 x+15 y+12 z=24 .\end{array}\right.
(B) \quad\left\{\begin{aligned} 7 x+5 y+4 z & =8, \\\\ 3 y+2 z & =1, \\\ y & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-21 x-15 y-12 z=-24, \\\\ 3 x+6 y=27 .\end{array}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}15 y+10 z=5, \\\\ -15 y-10 z=-5 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 4 x+8 y+5 z=7 \\\ x+2 y=9 \\\\ -3 x-6 y=-27 \end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}3 x+8 y+2 z=4, \\\\ 4 x+7 z=3, \\\\ -16 x-28 z=-12 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 28 x+20 y+16 z=32 \\\\ -12 y-8 z=-4 \\\ y=9 \end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}7 x+5 y+4 z=8, \\\\ 28 x+20 y+16 z=32, \\\\ 3 y+2 z=1 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-28 x-20 y-16 z=-32, \\\\ 4 x+8 y=36 .\end{array}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}28 x+20 y+16 z=32, \\\\ -4 x-8 y=-36 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-12 x-24 y-15 z=-21, \\\\ 12 x+24 y+15 z=21 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a opção em que, em cada um dos dois sistemas em (x,y,z), o conjunto–solução é uma reta em \mathbb{R}^3. Como a dimensão do conjunto–solução de um sistema linear homogêneo é
\dim = 3 - \mathrm{rank}(A),
para obter reta (dimensão 1) precisamos de \mathrm{rank}(A)=2 e consistência. Vamos, portanto, checar em cada opção se ambos os sistemas têm posto 2 e são consistentes.

Passo 2

Opções A, C e F têm em um dos sistemas posto 1 (duas equações dependentes), logo aí a solução teria dimensão 3-1=2 (plano), não 1. Portanto A, C e F são descartadas.

Passo 3

Opções B e D têm em um dos sistemas posto 3 (três equações independentes), o que conduz a solução única (dimensão 0), não reta. Logo B e D são descartadas.

Passo 4

Na opção E:
  • Primeiro sistema
\begin{cases} 7x+5y+4z=8,\\\\ 28x+20y+16z=32,\\\\ 3y+2z=1 \end{cases}
as duas primeiras são múltiplas e a terceira é independente: posto 2\), consistente, gera reta. - Segundo sistema \[\begin{cases} -28x-20y-16z=-32,\\\\ 4x+8y=36 \end{cases}
são duas equações independentes em três variáveis: posto (2], consistente, gera reta.
Logo em E ambos os sistemas têm posto 2 e solução de dimensão 1.

Resposta

(E)

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