Q3: Sabendo que o ponto (-12,5,-5, k) pertence ao plano (-2,1,-3,2)+\operatorname{span}\{(2,-3,3,-1),(3,1,-2,-2)\}, assinale o valor de k :
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(F) 8
(G) 9
(H) 10

Passo 1

O enunciado pede o valor de k tal que o ponto (-12,5,-5,k) pertença ao plano que passa pelo ponto base
P_0 = (-2,1,-3,2)
e é gerado pelos vetores de direção
v_1 = (2,-3,3,-1),\quad v_2 = (3,1,-2,-2).
Para isso, existe combinação linear
(-12,5,-5,k) \;=\; P_0 \;+\; s\,v_1 \;+\; t\,v_2
e precisamos achar s,t e então extrair k.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada para as três primeiras componentes, obtemos o sistema
\begin{cases} -2 + 2s + 3t = -12,\\\\ 1 - 3s + t = 5,\\\\ -3 + 3s - 2t = -5. \end{cases}

Passo 3

Das segunda e terceira equações temos
-3s + t = 4,\quad 3s - 2t = -2.
Subtraindo uma da outra isolamos t = -2. Substituindo em -3s + t = 4 achamos s = -2. Verifica-se que esses valores também satisfazem a primeira equação.

Passo 4

Agora a quarta coordenada do ponto no plano é
k = 2 + s\cdot(-1) + t\cdot(-2) = 2 - s - 2t = 2 - (-2) - 2(-2) = 8.

Resposta

k = 8 (alternativa F)

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