Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 8 vetores.
II - Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 8 vetores.
III - Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial com \dim(V)=8 e pede para analisar três afirmações sobre subconjuntos de V: dependência linear, geradores e independência linear. Para resolver, usamos definição de dimensão, base, conjunto gerador e critérios de dependência e independência linear.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto LD de V possui no mínimo 8 vetores.” Um subconjunto LD (linearmente dependente) pode ter apenas 2 vetores, ou mesmo 1 vetor se for o vetor zero. Logo, não é necessário ter 8 vetores para haver dependência linear. Portanto I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 8 vetores.” Como \dim(V)=8, qualquer conjunto que gere V deve ter cardinalidade maior ou igual a 8. Se tivesse menos de 8 vetores não conseguiria gerar todo o espaço. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “Nem todo subconjunto LI de V com 8 vetores é uma base.” Mas num espaço de dimensão 8 qualquer conjunto de 8 vetores LI (linearmente independentes) já é base por ter exatamente a dimensão do espaço. Logo III é falsa.

Resposta

Apenas a afirmativa II é verdadeira.

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