Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 8. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 8 vetores.
II - Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 8 vetores.
III - Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base
I - Todo subconjunto LD de
II - Todo conjunto gerador de
III - Nem todo subconjunto LI de
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial com
e pede para analisar três afirmações sobre subconjuntos de
: dependência linear, geradores e independência linear. Para resolver, usamos definição de dimensão, base, conjunto gerador e critérios de dependência e independência linear.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Todo subconjunto LD de
possui no mínimo 8 vetores.” Um subconjunto LD (linearmente dependente) pode ter apenas 2 vetores, ou mesmo 1 vetor se for o vetor zero. Logo, não é necessário ter 8 vetores para haver dependência linear. Portanto I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Todo conjunto gerador de
possui no mínimo 8 vetores.” Como
, qualquer conjunto que gere
deve ter cardinalidade maior ou igual a 8. Se tivesse menos de 8 vetores não conseguiria gerar todo o espaço. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “Nem todo subconjunto LI de
com 8 vetores é uma base.” Mas num espaço de dimensão 8 qualquer conjunto de 8 vetores LI (linearmente independentes) já é base por ter exatamente a dimensão do espaço. Logo III é falsa.
Resposta
Apenas a afirmativa II é verdadeira.