Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \quad\left\{\begin{aligned} 8 x+24 y+32 z & =16, \\\\ 20 y+35 z & =30 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-20 x-28 y-16 z=-8, \\\\ -25 x-35 y-20 z=-10 .\end{array}\right.
(B) \quad\left\{\begin{array}{r}20 x+28 y+16 z=8 \text {, } \\\\ 40 x+5 y=45 \text {. }\end{array}\right. \left\{\begin{aligned}-8 x-16 y-20 z & =-28, \\\\ -10 x-20 y-25 z & =-35 .\end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+8 z=4, \\\\ 4 y+7 z=6, \\\\ 20 y+35 z=30 .\end{array}\right. \left\{\begin{aligned} 20 x+28 y+16 z & =8, \\\\ 30 x+40 z & =5, \\\ x & =9 .\end{aligned}\right.
(D) \left\{\begin{aligned} 5 x+7 y+4 z & =2, \\\\ 6 x+8 z & =1, \\\ x & =9 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{array}{r}-20 x-28 y-16 z=-8, \\\\ -40 x-5 y=-45 .\end{array}\right.
(E) \left\{\begin{array}{r}18 x+24 z=3, \\\\ -18 x-24 z=-3 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}2 x+4 y+5 z=7, \\\\ 8 x+y=9, \\\\ -32 x-4 y=-36 .\end{array}\right.
(F) \quad\left\{\begin{aligned} 5 x+7 y+4 z & =2, \\\\ 20 x+28 y+16 z & =8, \\\\ 6 x+8 z & =1 .\end{aligned}\right. \left\{\begin{aligned} 25 x+35 y+20 z & =10, \\\\ 32 x+4 y & =36 .\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que cada sistema em \mathbb{R}^3 tenha solução de dimensão 1, ou seja, seja uma reta. Em geral, para um sistema homogêneo ou não, sejam 3 variáveis e a matriz de coeficientes A tiver posto \rank(A)=2 (e for compatível), sua solução tem dimensão
\dim = 3 - \rank(A) = 1.
Logo, em cada opção precisamos verificar que ambos os sistemas têm \rank=2.

Passo 2

Opção (A)
– Primeiro sistema
\begin{cases} 8x+24y+32z=16,\\\\ 20y+35z=30 \end{cases}
As duas equações são independentes \rank=2\) → reta. – Segundo sistema \[\begin{cases} -20x-28y-16z=-8,\\\\ -25x-35y-20z=-10 \end{cases}
A segunda é \tfrac54\] vezes a primeira, logo \[\rank=1 → plano \dim=2. Rejeita (A).
Opção (B)
– Primeiro sistema
\begin{cases} 20x+28y+16z=8,\\\\ 40x+5y=45 \end{cases}
Duas equações independentes \rank=2\] → reta. – Segundo sistema \[\begin{cases} -8x-16y-20z=-28,\\\\ -10x-20y-25z=-35 \end{cases}\] A segunda é \(1{,}25 vezes a primeira, logo \rank=1 → plano. Rejeita (B).

Passo 3

Opção (C)
– Primeiro sistema
\begin{cases} 2x+6y+8z=4,\\\\ 4y+7z=6,\\\\ 20y+35z=30 \end{cases}
A terceira é 5\) vezes a segunda, sobrando 2 eqs independentes \(\rank=2\) → reta. – Segundo sistema \[\begin{cases} 20x+28y+16z=8,\\\\ 30x+40z=5,\\\ x=9 \end{cases}
As três eqs fixam completamente (x,y,z \rank=3] → ponto. Rejeita (C).
Opção (D)
\begin{cases} 5x+7y+4z=2,\\\\ 6x+8z=1,\\\ x=9 \end{cases}
Também dá \rank=3 → ponto. Rejeita (D).

Passo 4

Opção (E)
\begin{cases} 18x+24z=3,\\\\ -18x-24z=-3 \end{cases}
A segunda é [-1) vez a primeira, \rank=1 → plano. Rejeita (E).
Opção (F)
– Primeiro sistema
\begin{cases} 5x+7y+4z=2,\\\\ 20x+28y+16z=8,\\\\ 6x+8z=1 \end{cases}
A segunda é 4\] vezes a primeira, restam 2 eqs independentes \[\rank=2 → reta.
– Segundo sistema
\begin{cases} 25x+35y+20z=10,\\\\ 32x+4y=36 \end{cases}
São duas equações independentes (\rank=2] → reta.

Resposta

(F)

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